高等数学(上)重要知识点归纳

第一篇：高等数学(上)重要知识点归纳

       高等数学（上）重要知识点归纳

       第一章 函数、极限与连续

       一、极限的定义与性质

       1、定义（以数列为例）

       limxna0,N,当nN时，|xna|

       n

       2、性质

       f(x)Af(x)A(x)，其中(x)为某一个无穷小。(1)limxx0f(x)A0，则0,当xU(x0,)时，(2)(保号性）若limxx0of(x)0。

       (3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

       二、求极限的主要方法与工具

       1、*两个重要极限公式

       (1)lim0sin1

       1(2)lim(1)e 

       2、两个准则

       (1)*夹逼准则

       (2)单调有界准则

       3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0时

       （1)sin~

       （2）tan~

       （3）arcsin~

       （4)arctan~（5）ln(1)~

       （6）e1~（7）1cos~

       2（8）n11~

       12 n 2

       4、分子或分母有理化法

       5、分解因式法

       6用定积分定义

       三、无穷小阶的比较*

       高阶、同阶、等价

       四、连续与间断点的分类

       1、连续的定义*

       f(x)在a点连续

       limy0limf(x)f(a)f(a)f(a)f(a)

       x0xa可去型（极限存在）第一类跳跃型（左右极限存在但不相等）

       2、间断点的分类 无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动）其他

       3、曲线的渐近线*(1)水平渐近线：若limf(x)A,则存在渐近线：yAx(2)铅直渐近线：若limf(x),则存在渐近线：xaxa

       五、闭区间连续函数性质

       1、最大值与最小值定理

       2、介值定理和零点定理

       第二章 导数与微分

       一、导数的概念

       1、导数的定义* y|xaf(a)dyyf(ax)f(a)f(x)f(a)|xalimlimlimx0x0xadxxxxa

       2、左右导数

       左导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa右导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa

       3、导数的几何意义* y|xa曲线f(x)在点（a,f(a))处的切线斜率k

       4、导数的物理意义

       若运动方程：ss(t)则s(t)v(t)(速度）,s(t)v(t)a(t)(加速度）

       5、可导与连续的关系:

       可导连续，反之不然。

       二、导数的运算

       1、四则运算(uv)uv

       (uv)uvuv

       ()uvuvuv

       2vdydyduu

       2、复合函数求导 设yf[(x)]，一定条件下 yuxdxdudx3、反函数求导 设yf(x)和xf1(y)互为反函数，一定条件下：yx1 xy4、求导基本公式*（要熟记）

       5、隐函数求导* 方法：在F(x,y)0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y

       xx(t)

       6、参数方程确定函数的求导* 设，一定条件下

       yy(t)y(t)tdyytdyytxtytxtxxt（可以不记）y,yxx3dxxtdxxt(xt)

       7、常用的高阶导数公式（1）sin(n)xsin(x),(n0,1,2...)

       n（2）cosxcos(x),(n0,1,2...)

       2(n)n2（3）ln(1x)(1)(n)n1(n1)!,(n12...)n(1x)1n(1)nn!),(n0,1,2...)（4）(n11x(1x)（5）（莱布尼茨公式）(uv)Cnku(nk)v(k)

       (n)k0n

       三、微分的概念与运算

       1、微分定义 * 若yAxo(x)，则yf(x)可微，记dyAxAdx

       2、公式：dyf(x)xf(x)dx

       3、可微与可导的关系* 两者等价

       4、近似计算 当|x|较小时，ydy，f(x)f(xx)f(x)x

       第三章 导数的应用

       一、微分中值定理*

       1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导（3）g(x)0,则：f()f(b)f(a)（a,b),使得：g()g(b)g(a)当取g(x)x时，定理演变成：

       2、拉格朗日中值定理*

       （a,b),使得：f()f(b)f(a)f(b)f(a)f()(ba)

       ba当加上条件f(a)f(b)则演变成：

       3、罗尔定理* （a,b),使得：f()0

       4、泰勒中值定理 在一定条件下：

       f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)nRn(x)

       n!f(n1)()(xx0)n1o((xx0)n),介于x0、x之间.其中Rn(x)(n1)!当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.当x00时，公式变成:

       f(n)(0)n5、麦克劳林公式 f(x)f(0)f(0)x...xRn(x)

       n!

       6、常用麦克劳林展开式

       x21n（1）e1x...xo(xn)

       2!n!xx3x5(1)n12n1xo(x2n)（2）sinxx...3!5!(2n1)!x2x4(1)n2nxo(x2n1)（3）cosx1...2!4!(2n)!x2x3(1)n1n（4）ln(1x)x...xo(xn)

       23n

       二、罗比达法则* 记住：法则仅能对,型直接用，对于0,,1,00,0,转化后用.幂指函数恒等式*fgeglnf

       三、单调性判别*

       1、y0y,y0y

       2、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、极值求法*

       1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法* 找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.00 7

       六、凹凸性与拐点*

       1、y0y,y0y

       2、拐点：曲线上凹凸分界点(x0,y0).横坐标x0不外乎f(x0)0,或f(x0)不存在，找到后再加以判别x0附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径

       1、曲率公式K|y|(1y2)

       12、曲率半径R

       K32

       第四章 不定积分

       一、不定积分的概念* 若在区间I上，F(x)f(x),亦dF(x)f(x)dx，则称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数F(x) c为f(x)的不定积分，记为f(x)dx.二、微分与积分的互逆关系

       1、[f(x)dx]f(x)df(x)dxf(x)dx

       2、f(x)dxf(x)cdf(x)f(x)c

       三、积分法*

       1、凑微分法*

       2、第二类换元法

       3、分部积分法* udvuvvdu

       4、常用的基本积分公式(要熟记).第五章 定积分

       一、定积分的定义 af(x)dxlimf(i)xi x0i

       1二、可积的必要条件

       有界.三、可积的充分条件

       连续或只有有限个第一类间断点或单调.四、几何意义

       定积分等于面积的代数和.bn 9

       五、主要性质*

       1、可加性 aac

       2、估值 在[a,b]上，m(ba)af(x)dxM(ba)

       3、积分中值定理* 当f(x)在[a,b]上连续时：af(x)dxf()(ba),[a,b]

       4、函数平均值：babcbbbf(x)dxba

       六、变上限积分函数*

       1、若f(x)在[a,b]连续，则F(x)af(t)dt可导，且[af(t)dt]f(x)

       2、若f(x)在[a,b]连续，(x)可导，则：[a

       七、牛-莱公式* 若f(x)在[a,b]连续，则af(x)dx[f(x)dx]|bF(b)F(a)

       axx（x）f(t)dt]f[(x)](x)

       b

       八、定积分的积分法*

       1、换元法

       牢记：换元同时要换限

       2、分部积分法

       audvuv|avdu

       babb3、特殊积分（1）aa0,当f(x)为奇函数时f(x)dxa

       20f(x)dx,当f(x)为偶函数时（2）当f(x)为周期为T的周期函数时：

       aanTf(x)dxn0f(x)dx,nZ

       T（3）一定条件下:0xf(sinx)dx0f(sinx)dx

       2 10

       (n1)！，n是正奇数时（4）02sinnxdx02cosnxdxn!

       (n1)！，n是正偶数时!2n！（5）0sinxdx202sinnxdx n

       九、反常积分*

       1、无穷区间上

       a

       其他类似 f(x)dxlimaf(t)dtF(x)|aF()F(a)xx2、p积分：ap1时收敛1 dx(a0):pxp1时发散

       3、瑕积分：若a为瑕点：

       b则af(x)dxlimf(t)dtF(x)|F(b)F(a)

       其他类似处理

       axaxbb

       第六章

       定积分应用

       一、几何应用

       1、面积（1）A（y上-y下）dxaA（x右-x左）dyabb

       xx(t),(t),则A|y(t)x(t)|dt（2）C:yy(t)C:(),与，，（)围成图形面积（3）12A（）d2

       2、体积*（1）旋转体体积*Vxay2dx

       Vycx2dy

       或Vy2axydx（2）截面面积为AA(x)的立体体积为VaA(x)dx

       bbdb 11

       3、弧长

       （1）sa1y2dx(axb)（2）sx2(t)y2(t)dt,(t)（3）s22d,()

       二、物理应用

       1、变力作功

       一般地：先求功元素：再积分waF(x)dx dwF(x)dx,x[a,b]，克服重力作功的功元素dw=体积g位移

       2、水压力

       dP=水深面积g

       第七章

       微分方程

       一、可分离变量的微分方程

       dy形式：f(x)g(y)

       dxbb二、一阶线性微分方程*

       1、线性齐次：yp(x)y0 通解公式*：yCep(x)dx

       2、线性非齐次

       yp(x)yq(x)通解公式*：ye

       p(x)dxp(x)dx[eq(x)dxC)

第二篇：高等数学重要知识点的分布

       重要知识点的分布

       第一部分：空间解析几何（第二章）

       1、直线和平面方程

       第二部分：无穷级数（第八章）

       1、级数收敛、一致收敛判断

       2、正项级数的有关证明

       3、幂级数的收敛域以及和函数

       4、傅里叶级数在间断点的收敛性 第三部分：多元微分（第九章）

       1、二元函数极限、连续性及偏导数的判断与计算

       2、梯度的计算

       3、Lagrange乘数法计算极值

       4、曲线切线与曲面切平面计算

       第四部分：多元积分（第十章至第十三章）

       1、重积分计算，交换积分顺序

       2、曲线积分与曲面积分的计算，积分与路径无关

       3、散度、旋度的计算

       第五部分：常微分方程（第十四章）

       1、一阶微分方程的求解

       2、二阶常系数微分方程的求解

第三篇：2022考研数学重要知识点解析之高等数学(一)

       在考研数学复习开始之前，万学海文数学考研辅导专家们提醒2022年的考生们要对考研数学的基本命题趋势和试题难度有比较深刻的认识，根据自己对考研数学的定位，要做到有的放矢的复习，才能达到事半功倍的效果。

       复习备考的主要策略：紧扣考纲，扎实基础，注重联系，加强训练。

       本文万学海文辅导老师们主要阐述如何在复习当中紧扣考纲。考研数学作为标准化考试，其命题范围有明确的规定，2022年考生基础阶段复习主要就是依据考试大纲，详细了解考试的基本要求，类别和难度特点，准确定位。我们以数一中第一章为例：

       一、函数、极限、连续

       考试内容

       函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

       数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:

       函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

       考试要求

       1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.考试内容中给考生列出了第一章的考试知识点，所以考生在复习过程中首先要弄懂这些知识点。考试要求中标明了对各个知识点的掌握所应该能够达到的程度，一般分为了解、理解、会、掌握，几个层次。

       了解：指对该知识点的含义要很清楚，一般在数学中指的是概念、公式、性质、定理及推论等知识内容。比如：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等。

       但是并不是说了解的内容就只是了解这些性质，知道这些知识点就行了，有人错误的认为了解的知识一般不会考，这种认识是错误的，只要是在考试大纲中出现的考试内容都有可能考到，甚至对要求了解的知识点考的也比较深入。

       理解：指要对知识点懂且认识的很清楚。在考研数学当中主要指对概念、定理、推理的知识点及知识点之间的关系。在这里万学海文辅导老师提醒2022年得考生要注意了解和理解的区别，了解偏重于知道，理解在了解的基础上增加了懂得和能够体会其深层次的意思;理解也就是从表到里深层递进的含义。在考研数学大纲中要求理解的知识点考查的较多，比如：理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系等几乎每年必考.会(求、计算、建立、应用、判断等)：其含义为理解、懂得，并根据所学知识能够计算表达式结果、列出方程、画出图形、建立数学模型等。在考研数学大纲中对知识点要求会求、会计算、会建立方程表达式、会描绘等，主要指计算方法、知识点的灵活运用测试的要求;万学海文数学辅导老师提醒大家学习时不仅要记住、理解定理还要会推导，才达到会求解的程度。

       掌握：了解、熟知并加以运用。在考研数学大纲中所有知识点的要求中掌握的层次是最高的，要求掌握的知识点往往是考试的重点、热点和难点，比如：掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法等都是每年真题中涉及的内容;万学海文建议2022年得考生在学习时对于大纲要求掌握的知识点不仅要掌握知识点本身还要学习它的推理、证明以及解题时经常用到的结论，同时还要注意与该知识点相关联的知识点及它们之间的关系。

       在了解了考研数学大纲内容及要求之后我们就可以有的放矢的进行复习了。古人云：“凡事预则立，不预则废”，这为我们下面能够扎实复习打开了一个美丽的开端。

第四篇：微积分上重要知识点总结

       1、常用无穷小量替换

       2、关于邻域：邻域的定义、表示（区间表示、数轴表示、简单表示）；左右邻域、空心邻域、有界集。

       3、初等函数：正割函数sec是余弦函数cos的倒数;余割函数是正弦函数的倒数；反三角函数：定义域、值域

       4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。

       5、无穷小量与无穷大量：无穷小量的定义、运算性质、定理（无穷小量与极限的替换）、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。

       6、极限的性质：局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）。

       7、极限的四则运算法则。

       8、夹逼定理（适当放缩）、单调有界定理（单调有界数列必有极限）。

       9、两个重要极限及其变形

       10、等价无穷小量替换定理

       11、函数的连续性：定义（增量定义法、极限定义法）、左右连续

       12、函数的间断点：第一类间断点和第二类间断点，左、右极限都存在的是第一类间断点，第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点。

       13、连续函数的四则运算

       14、反函数、复合函数、初等函数的连续性

       15、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。

       16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。

       17、求导法则与求导公式：函数线性组合的求导法则、函数积和商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、19、20、21、隐函数的导数。

       高阶导数的求法及表示。

       微分的定义及几何意义、可微的充要条件是可导。A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx.1 / 4

       22、微分形式的不变性

       23、微分近似公式：

       24、导数在经济问题中的应用（应用题）：

       （1）边际（变化率，即导数）与边际分析：

       总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润

       （2）弹性（书78页）及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系

       25、中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限（89页）

       27、函数单调性

       28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别，最大利润、最小平均成本、最大收益问题，经济批量问题。（注意书100页）

       29、曲线的凹凸性的定义及判定（二阶导数）、拐点。

       / 4

       30、曲线的渐近线：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线

       31、利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、定义域、奇偶性、根及

       / 4 其他变化趋势作图

       32、不定积分（积分号、被积函数、积分变量被积表达式、积分常数）、原函数、连续则有原函数、不定积分的几何意义及性质

       33、基本积分表

       34、换元积分法：第一换元法（凑微分法）和第二换元法（变量替换法）35、36、分部积分法 有理数的积分

       / 4

第五篇：小学三年级英语(上)重要知识点归纳

       小学三年级英语（上）重要知识点归纳

       小学三年级英语（上）重要知识点归纳

       一、单词

       Unit 1学习文具：pen(钢笔)pencil(铅笔)pencil-case(铅笔盒)ruler(尺子)eraser(橡皮)crayon(蜡笔)book(书)bag(书包)sharpener(卷笔刀)school(学校)

       Unit 2身体部位：head(头)face(脸)nose(鼻子)mouth(嘴)eye(眼睛)leg(腿)ear(耳朵)arm(胳膊)finger(手指)leg(腿)foot(脚)body(身体)

       Unit 3颜色：red(红色的)yellow(黄色的)green(绿色的)blue(蓝色的)purple(紫色的)white(白色的)black(黑色的)orange(橙色的)pink(粉色的)brown(棕色的)

       Unit 4动物：cat(猫)dog(狗)monkey(猴子)panda(熊猫)rabbit(兔子)duck(鸭子)pig(猪)bird(鸟)bear(熊)elephant(大象)mouse(老鼠)squirrel(松鼠)

       Unit 5食物：cake(蛋糕)bread(面包)hot dog(热狗)hamburger(汉堡包)chicken(鸡肉)French fries(炸薯条)coke(可乐)juice(果汁)milk(牛奶)water(水)tea(茶)coffee(咖啡)

       Unit 6数字：one(一)two(二)three(三)four(四)five(五)six(六)seven(七)eight(八)nine(九)ten(十)doll(玩具娃娃)boat(小船)ball(球)kite(风筝)balloon(气球)

       car(小汽车)plane(飞机)

       二.、对话

       1、向别人问好应该说――A: Hello!(你好!)

       B: Hi!(你好!)

       2、问别人的名字应该说-――A：What's your name? 你的名字是什么?

       B：My name's Chen Jie.我的名字是陈洁。

       3、跟别人分手应该说――A: Bye.Good bye!(再见)

       B: See you.(再见)Goodbye.(再见)1

       小学三年级英语（上）重要知识点归纳

       4、A: I have a pencil bagruler 我有一只铅笔书包尺子。

       B: Me too.我也有。

       5、早上相见应该说-――A: Good morning.早上好!

       B: Good morning!早上好!

       6、下午相见应该说――A: Good afternoon!下午好!

       B: Good afternoon!下午好!

       7、跟新朋友第一次见面――A: Nice to meet you!见到你很高兴。

       B: Nice to meet you，too!见到你也很高兴!

       8、A: Let's go to school!让我们一起去上学!

       B: OK!好的。

       9、看见久未见面的朋友或者别人身体不舒服，你该这么打招呼-A: How are you ? 你好吗?

       B: Fine，thank you我很好，谢谢你。

       10、A: Let's paint.让我们画画。

       B: Great!棒极了!

       11、A: Look I have a rabbitmonkey.看，我有一只兔子猴子。

       B: CoolSuper Great Wow!酷超级好棒极了好厉害.12、你想看下别人的东西，你该这么说――A: May I have a look? 我可以看一看吗?

       B: Sure.Here you are!当然可以。给你!

       13、请别人吃东西，你该这么说――A: Have some French fries.吃一些炸薯条。

       B: Thank you.No, thanks.谢谢你。不，谢谢你。

       14、A: What do you like? 你喜欢什么?

       B: I like hot dogs.我喜欢热狗。

       小学三年级英语（上）重要知识点归纳

       15、你想吃点东西，你该说――A: Can I have some chicken? 我能吃一些鸡肉?

       B: Sure here you are.当然可以，给你。

       16、A: Thank you.谢谢你。

       B: You're welcome.别客气。

       17、A：B: Happy birthday.生日快乐!

       B: Thank you.谢谢。

       18、A: How old are you? 你几岁啦?

       B: I'm nine.我九岁了。(要用数字回答哦!)

       19、A: Let's eat the birthday cake.让我们吃生日蛋糕

       B: Great!棒极了!

       20、A: How many balloons gifts? 多少个气球礼物?

       B: Four ten.四/十。

       三、句子

       Unit 1 1.show me your pencil / ruler/ eraser/ crayon/ pen.让我看看你的铅笔/尺子/橡皮/蜡笔/钢笔。

       2.open your pencil--case.打开你的铅笔盒。close your book.合上你的书。

       show me your sharpener.让我看看你的卷笔刀。carry your bag.背起你的书包。

       go to school.去上学。

       Unit 2 3 Touch your head./ nose/ eye/ mouth/ ear.摸摸你的头/鼻子/眼睛/嘴巴/耳朵。

       4.Clap your hands.拍拍你的手。Snap your fingers.打响你的手指。

       小学三年级英语（上）重要知识点归纳

       Wave your arms.挥挥动你的胳膊。Cross your legs.翘翘你的双腿。

       Shake your body.扭扭你的身体。Stamp your foot.跺跺你的脚。

       Unit 3 5.Show me your red/ blue / green / yellow / purple crayon.给我看看你的红/蓝/绿/黄/紫色蜡笔。

       6.Black, black.Stand up.黑色，黑色，站起来(起立)!

       Pink , pink.Sit down.粉红色，粉红色，坐下!

       Brown, brown.Touch the ground.棕色，棕色，摸摸地板。

       Orange, orange.Touch your head.橙色，橙色，摸摸你的头。

       White, white.Turn around.白色，白色，转个圈。

       Unit4 7.Act like a cat/ duck/ panda/ monkey/ rabbit/ dog.模仿小猫/鸭子/熊猫/猴子/兔子/小狗表演。

       8.Hunt like a mouse.像老鼠一样搜寻。Walk like a elephant.像大象一样走路。

       Climb like a bear.像狗熊一样爬。Fly like a bird.像小鸟一样飞。

       Jump like a squirrel.像松鼠一样跳。

       Unit5 9.Show me your hamburger.让我看看你的汉堡包。

       Pass me the French fries.把炸薯条递给我。

       Cut the bread.切面包。

       Eat the hot dog.吃热狗。

       Smell the chicken.闻闻鸡肉。

       Make the cake.做蛋糕。

       小学三年级英语（上）重要知识点归纳

       10.pour the water 倒水。

       Smell the coffee 闻闻咖啡。

       Taste the tea 尝尝茶。

       Show me the milk 让我看看牛奶。

       Drink the juice 喝果汁。

       11.bounce the ball.拍拍球。fly the kite.放风筝。

       throw the plane.扔出飞机。hold the doll.抱娃娃。

       Drive the car.开车。

       blow up the balloons.吹气球。