高中数学二次函数教案

第一篇：高中数学二次函数教案

       二次函数

       一、知识回顾

       1、二次函数的解析式

       （1）一般式：顶点式：双根式：求二次函数解析式的方法：

       2、二次函数的图像和性质

       二次函数fxax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴的方程为。

       （1）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

       （2）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

       （3）二次函数fxaxbxc(a0)2b2a时，函数有最值为b2a时，函数有最为。

       当时，恒有 fx.0，当时，恒有 fx.0。

       2（4）二次函数fxaxbxc(a0)，当b4ac0时，图像与x轴有两个交点，2

       M1(x1,0),M2(x2,0),M1M2x1x2a.3.常见的实根分布情况设x1x2为f(x)=0（a>0）的两个实根。

       （1）当x1m,x2m时，则有___________________

       （2）当在区间（m,n）有且只有一个实根时，则有：__________________________

       (3)当在区间（m,n）有两个实根时，则有：_________________________________

       (4)当在两个区间中各有一个实根mx1npx2q时，——————————

       二、基础训练

       1、已知二次函数fxaxbxc(a0)的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值2

       为，最大值为。

       22函数fx2xmx3，当x(,1]时，是减函数，则实数m的取值范围是3函数fxx2axa的定义域为R，则实数a的取值范围是（4已知不等式xbxc0 的解集为11），则bc23

       5若函数f(x)=(x a)(bx 2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则6 设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则7已知二次函数f(x)x4ax2a6(xR)的值域为[0,),则实数a

       三、例题精讲

       例1 求下列二次函数的解析式 2

       (1)图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；

       (2)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x 1)-f(x)=2x；

       (3)f(2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).例2 已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(3,2)时，f(x)0,当x(,3)(2,)时，f(x)0。（1）求f(x)在[0,1]内的值域。

       （2）若axbxc0的解集为R，求实数c的取值范围。

       例3 已知函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根，（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]？如果存在，求出m,n的值；若不存在说明理由。

       2例4已知关于x的方程mx2 (m-3)x 1=0①若存在正根，求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围

       四、巩固练习

       1.2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为不等式ax2 bx c＞0 的解集为（x1,x2）(x1 x2<0),则不等式cxbxa0的解集为

       223 函数y2cosxsinx的值域为x

       axb4 已知函数f(x)(a,b为常数且ab0)且f(2)1，f(x)x有唯一解，则yf(x)的解析式为

       225.已知a,b为常数，若f(x)x4x3,f(axb)x10x24，则5ab26.函数f(x)4xmx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的取值范围是

       7.函数f(x)=2x-mx 3, 当x∈[-2, ∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2]时是减函数，8.若二次函数f(x)axbxc满足f(x1)f(x2)(x1x2)则f(x1x2)9.若关于x的方程ax2x10至少有一个负根，则a的值为

       10.已知关于x的二次方程x 2mx 2m 1=0

       (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m的范围。

       11.若函数f(x)=x (m-2)x 5的两个相异零点都大于0，则m的取值范围是

       12.设f(x)=lg(ax-2x a)(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。222222

第二篇：高中数学二次函数教案人教版必修一

       二次函数

       一、考纲要求二、一、复习回顾

       1、讲解上节课所留作业中典型试题的解题方法，重新记录，加深印

       象 2回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部分

       二、课堂表现

       1、课堂笔记及教师补充知识点的记录

       2、重点知识点对应典型试题训练，并且通过训练归纳总结常考题型的解题思路和方法

       三、归纳总结

       四、复习总结高考趋势

       由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2022年高考的热点。

       三、知识回顾

       1、二次函数的解析式

       （1）一般式：

       （2）顶点式：

       （3）双根式：求二次函数解析式的方法：1已知时，○宜用一般式 2已知时，○常使用顶点式 3已知时，○用双根式更方便

       2、二次函数的图像和性质

       二次函数fxax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴的方

       程为顶点坐标是（）。

       （1）当a0时，抛物线的开口，函数在上递减，在上递增，当x

       为

       （2）当a0时，抛物线的开口，函数在上递减，在上递增，当x。

       （3）二次函数fxax2bxc(a0)

       当时，恒有 fx.0，当时，恒有 fx.0。

       （4）二次函数fxax2bxc(a0)，当b24ac0时，图像与x轴有两个交点，M1(x1,0),M2(x2,0),M1M2x1x2.ab时，函数有最值2ab时，函数有最为 2a

       四、基础训练

       1、已知二次函数fxax2bxc(a0)的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值为，最大值为 2函数fx2x2mx3，当x(,1]时，是减函数，则实数m的取值范围是。

       3函数fxx22axa的定义域为R，则实数a的取值范围是

       4已知不等式x2bxc0 的解集为（），则bc5若函数f(x)=(x a)(bx 2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则f(x)=112

       设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则7已知二次函数f(x)x24ax2a6(xR)的值域为[0,),则实数a

       五、例题精讲

       例1 求下列二次函数的解析式

       (1)图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；

       (2)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x 1)-f(x)=2x；

       (3)f(2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).例2 已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(3,2)时，f(x)0,当

       （1）求f(x)在[0,1]内的值域。x(,3)(2,)时，f(x)0。

       （2）若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围。

       例3 已知函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根，（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]？如果存在，求出m,n的值；若不存在说明理由。

       例4已知关于x的方程mx2 (m-3)x 1=0①若存在正根，求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围

       六、巩固练习

       1.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为

       2.不等式ax2 bx c＞0 的解集为（x1,x2）(x1 x2<0),则不等式

       cx2bxa0的解集为3 函数y2cos2xsinx的值域为 4 已知函数f(x)xf(x)x有唯一(a,b为常数且ab0)且f(2)1，axb

       解，则yf(x)的解析式为

       5.已知a,b为常数，若f(x)x24x3,f(axb)x210x24，则5ab6.函数f(x)4x2mx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的取值范围是

       7.函数f(x)=2x2-mx 3, 当x∈[-2, ∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2]时是减函数，8.若二次函数f(x)ax2bxc满足f(x1)f(x2)(x1x2)则f(x1x2)9.若关于x的方程ax22x10至少有一个负根，则a的值为

       10.已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1=0

       (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m的范围。

       11.若函数f(x)=x2 (m-2)x 5的两个相异零点都大于0，则m的取值范围是

       12.设f(x)=lg(ax2-2x a)

       (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；

       （2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。

第三篇：《二次函数 》教案

       命题人：刘英明 审题人：曹金满 课型：新授课

       《二次函数 》教案

       学习重点：通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．

       学习难点：理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.一、知识回顾：

       1.若在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是的，叫做.2.形如 的函数是一次函数，当时，它是正比例函数；

       形如 的函数是反比例函数.二、探究新知：

       1.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积与长方形的长之间的函数关系式为.2.支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数与球队数之间的关系式_______________________．

       3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是.4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

       5.归纳：一般地，形如，（）的函数为二次函数。其中是自变量，是__________，是___________，是_____________．

       6.方法：①等号右边是整式； ②自变量最高次数为2； ③二次项系数不等于0.三、举例应用：

       例1.当 值时，函数二次函数；

       当 值时，函数为一次函数；

       例2.下列函数中，哪些是二次函数？

       (1)(2)(3)

       (4)(5)(6)

       例3.填出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项

       函数

       a

       b

       c

       四、巩固练习：

       1.下列函数中哪些是二次函数？

       (1)；(2)；(3)；

       (4)；(5)．

       2.若函数为二次函数，则的值为.3.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

       (1)(2)(3)

       4.已知函数，(1)当为何值时，这个函数是二次函数？

       (2)当为何值时，这个函数是一次函数？

       五、课堂小结：

       谈谈今天你的收获.六、课后作业：

       数学同步练习册.随堂检测

       一、选择题：

       1.若是二次函数，则的值为（）

       A.±2 B.﹣2 C.2 D.0

       2.下列函数中是二次函数的是()

       A.B.C.D.3.一定条件下,若物体运动的路段(米)与时间(秒)之间的关系为,则当秒时,该物体所经过的路程为（）

       A.28米 B.48米 C.68米 D.88米

       二、填空题：

       4.观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这6个式子中二次函数有（只填序号）.5.是二次函数，则的值为______________．

       6.若物体运动的路段（米）与时间（秒）之间的关系为，则当秒时，该物体所经过的路程为.7.把函数化成的形式是.8.二次函数．当时，则这个二次函数解析式为 ．

       9.是二次函数,则的值为_________________.三、解答题：

       10.取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？

       11.已知与成正比例,并且当时,.求与之间的函数关系式.12.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.13.某种商品的价格是2元，准备连续两次降价.如果每次降价的百分率都是，经过两次降

       价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系可以用怎样的函数来表示：

       14.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为m，绿化带的面积为．求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

第四篇：二次函数教案

       二次函数教案

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       20.1二次函数

       一、教学目标：

       ．知识与技能：

       通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.2．数学思考：

       学生能对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.3．解决问题：

       体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程.4．情感与态度：

       通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识.二、教学重点、难点：

       教学重点：认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程.教学难点：根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念.三、教学方法和教学手段：

       在确定二次函数的概念和寻求生活实例中的二次函数关系式的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究．

       在教学手段方面，选择了多媒体辅助教学的方式．

       四、教学过程：

       师生活动

       设计意图

       、问题感知，情境切入.教师展示实际问题：

       “第18届世界杯足球赛”是今年夏天最“热”的一个话题，绿荫场上运动员挥汗如雨，绿荫场外教练员运筹帷幄.足球运动是一项对运动员状态（包括体能、速度和技术意识）要求很高的项目，一般情况下，足球运动员的状态会随着时间的变化而变化：比赛开始后，球员慢慢进入状态，中间有一段时间球员保持较为理想的状态，随后球员的状态慢慢下降.经实验分析可知：球员的状态综合指数y随时间t的变化规律有如下关系：

       （1）比赛开始后第10分钟时与比赛开始后第50分钟时比较，什么时间球员的状态更好？

       （2）比赛开始后多少分钟时，球员的状态最好，这样的最好状态能持续多少分钟？

       通过学生之间的讨论，很容易得出第（1）问的答案：比赛开始后第10分钟时，y=140；比赛开始后第50分钟时，y=220；所以，比赛开始后第50分钟时球员的状态更好.当学生开始进行第（2）问的解答时，遇到了不同的困难：

       （1）不知道如何讨论当50t90时，y的变化范围？

       （2）通过模仿一次函数的性质，学生求出了函数y=

       中，y的变化范围是.却无法说出这样做的数学依据是什么？

       所有的困难都指向一个焦点问题：

       y=

       是个什么样的函数？它具有什么样的独特性质？

       因此，学生产生了研究函数y= 的兴趣，教师趁势提出今天的学习内容.以“世界杯足球赛”这样贴近学生生活实际的问题为背景，力求更好地激发学生的求知欲，使之成为主动、积极的探索者，并在解决实际问题的过程中体验成功的快乐，同时为新课的引出和学习奠定了基础.这是一道结合实际的自编题，其中的数据于自己做的社会调查.足球运动是一项集体运动项目，对运动员的配合意识要求很高，所以运动员上场后30分钟左右才进入最佳状态，中场休息后状态仍能保持到最佳，50分钟后由于体能的下降影响了状态的发挥.2、讲解新课，提炼知识.（1）对比、分析

       教师举出生活中的其它实例，感受二次函数的意义，进一步深化对二次函数概念的认识.①如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积Q和正方形的边长a的函数关系式是____________________．

       ②某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格m（元）和年降价率p的函数关系式是____________________．

       答案：m=262

       （2）类比、迁移

       教师顺势提问：对y=、Q=a2-

       16、m=262这三个函数你能用一个一般形式来表示吗？

       教师参与到学生的分组讨论中去，合作交流，注意及时抓住学生智慧火花的闪现进行引导.教师鼓励学生用不同字母表示，只要把握概念的实质即可，必要时可提示学生，类比一次函数的知识.（3）二次函数的认识

       一般地，我们把形如y=ax2 bx c（a≠0）（说明：括号内的条件，在第步之后再补写）的函数叫做二次函数，其中a、b分别是二次项系数、一次项系数，c是常数项.（4）加深理解

       二次函数的定义给出后，教师引导学生分别讨论“a、b、c的取值范围”.学生就问题自由发言，教师充分引导学生发表自己的看法，只要合理，都应肯定.最后师生达到共识：

       ①a不能为0，因为当a=0时，右边不再是x的二次式；

       ②b、c都能为0，因为当b=0、c=0或b、c都为0时，右边仍是x的二次式.教师对所得出的常量范围，进行概念补写.通过两个实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础.引导学生侧重从解析式的特征思考，透过“引用不同字母”的表层现象，看到解析式的“结构一致”的本质.敞开思想，广泛议论，实现对二次函数本质的认识.充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心.教师的提问意在引起学生的思维冲突，使之产生探究的欲望.遵循学生认知发展及知识系统的形成过程，由一般到特殊逐步为概念的理解铺平道路.3、分层实践，能力升级.[快速抢答]

       下面各函数中，哪些是二次函数？

       （1）①y=2x2

       ②y=－x2 3

       ③y=（x≠0）

       ④y=15x-1

       ⑤y=2 2

       ⑥y=3x2-2x-5

       ⑦y=-x（x2 4）

       ⑧y=

       答：①、②、⑤、⑥是二次函数

       （2）请写出这些二次函数中a、b、a

       b

       c

       ①y=2x2

       0

       c的值.0

       ②y=－x2 3

       －

       0

       ⑤y=2 2

       =x2 2x 3

       ⑥y=3x2-2x-5

       特别强调：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正确判断解析式中的a、b、c.1.[轻松完成]：矩形的周长为20cm，它的面积S（cm2）和它的一边长a（cm）的函数关系式是怎样的？并求出此函数的定义域.答案：S=a=-a2 10a，其中函数的定义域为：0

       （1）写出即时速度Vt与时间t的函数关系式；

       （2）写出平均速度与时间t的函数

       关系式；（提示：本题中，平均速度）

       （3）写出滚动的距离S（单位：米）与滚动的时间t（单位：秒）之间的关系式.（提示：本题中，距离S=平均速度时间t）

       （4）请判断以上三个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案：

       （1）Vt=1.5t；

       （2）

       =

       = ；

       （3）S=

       t=

       ；

       （4）函数Vt=1.5t和

       =是一次函数，函数S=

       是二次函数，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[请你帮个忙]：某果园有100棵橘子树，每一棵树平均结600个橘子.现准备多种一些橘子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.那么，如何表示增种的橘子树的数量x（棵）与橘子总产量y（个）之间的函数关系式呢？判断这个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案：

       解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出题大家做如图，正方形ABcD的边长是5，E是AB上的一个动点，G是AD的延长线上一点，且BE=DG，GF∥AB，EF

       ∥

       AD，_____________________________________________?

       请同学们以小组为单位尝试编一道实际函数问题，列出的函数关系是可以是二次函数，也可以是一次函数.估计学生可能想到：

       ①矩形AEGF的面积y与BE的长x

       之间的关系可以用怎样的函数来表示？

       答案：

       ②矩形AEmD的面积y与BE的

       长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

       答案：

       ③矩形BEmc的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

       答案：

       ④矩形DmFG的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

       答案：

       ⑤其它类型：六边形ABcmFG的周长y与BE的长x之间的函数关系；矩形AEGF的周长y与BE的长x之间的函数关系；……

       这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，同时认识二次函数解析式中a、b、c的意义.通过求函数的定义域，让学生体会实际问题中的二次函数的特点。

       通过这道题的安排，让学生体会到了二次函数应用的广泛性。同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判定二次函数的方法，进一步了解不同函数的差异，从而对函数的本质有更深入了解。

       这道实际问题的解决，培养了学生的观察能力和归纳能力，更重要的是让学生体验了实际问题“数学化”的过程.兴趣是学习的动力源泉，学生在参与编题的过程中，培养了与人合作的精神和创新意识，通过学生多层次、多角度地解决问题的方式，使原本枯燥的数学课堂逐渐被开放、热烈，富于创造性的课堂气氛所代替，成为激发学生潜力的最佳土壤.4、展示交流，总结新知.（1）学生自己总结，并在班上交流

       本节课——

       我学会了……

       使我感触最深的……

       我感到最困难的是……

       我最值得学习的同学是……

       （2）结合学生所述，教师给予指导：

       ①正确理解“二次函数”定义，关注和定义有关的注意问题.②生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题.课堂小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行，借此促进师生心灵的交流，学生对自己清醒的认识和总结，必然促进其自主学习，获得可持续发展的动力.5、布置作业、巩固知识.（1）阅读教材相应内容，完成课后习题第45--46页第1、2题.（2）实践题：

       推测植物的生长与温度的关系

       科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物的增长情况（如下表）

       温度t/℃

       植物高度

       增长量L/mm

       由这些数据，科学家推测出植物的增加量L与温度t的函数关系，并由它推测出最适合这种植物增长的温度.你能想出科学家是怎样推测的吗？请在直角坐标系里画出这个函数的大致图象，根据图象写出你的分析.必做题促进知识的巩固，实践题供学有余力的学生完成，进一步培养发散思维及社会实践能力.设置贴近学生生活的实际问题情境，并要求学生尝试画出二次函数的图象来解决实际问题，激发学生探究新知的欲望，为以后的教学埋下伏笔.五、教案设计说明:

       ．注意联系实际，渗透用教学的意识，力求呈现“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，让“人人学有价值的数学”.教学中以实际问题主线贯穿整个教学，强调具体问题的分析、抽象，渗透数学建模思想.注重问题的实际意义，选用贴近学生生活和具有时代气息的例题、习题，激发学生的兴趣，使学生体会二次函数在现实世界中的作用.2．给学生提供探索和交流的空间，数学活动力求避免单纯的依赖模仿与记忆，而是一个生动活泼、主动和富有个性的过程.围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的开放型问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习，提高解决问题的能力，发展创新意识和实践能力.3．谈化概念的形式记忆，关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入、动手操作的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念，并初步学会应用.4．内容设计有弹性，真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.关注学生群体的差异，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，所设置的问题既能使所有学生参与，又有一定的拓展、探索余地和广阔的思维空间，使全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验。

第五篇：22.1.1 二次函数(教案)

       第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质

       22.1.1 二次函数

       教学目标

       【知识与技能】

       1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】

       通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度】

       在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.教学重点

       结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.教学难点

       1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2 bx c中a≠0这一隐含条件.教学过程

       一、情境导入，初步认识

       问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为

       ，y是x的函数吗？

       问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他

       个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为

       ，这里m是n的函数吗？ 问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

       二、思考探究，获取新知

       全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给

       1予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不

       2是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1 x)t，第三年产量为20(1 x)(1 x)t，得到y=20（1 x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.11思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2 40x 20有哪些共同点？

       22【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2 bx c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】

       针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解

       1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x 2)(x-2);(2)y=3x(2-x) 3x2;(3)y=1-2x 1;2x(4)y=1-3x2.2.若y=(m 1)xm2 1-2x 3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？

       4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

       （1）在第n个图中，每一横行共有

       块瓷砖，每一竖列共有

       块瓷砖（均用含n的代数式表示）；

       （2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x 2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x) 3x2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵ym1xm212x3是y关于x的二次函数.∴m 1≠0且m2 1=2, ∴m≠-1且m2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得： y=(162-3x)(x-30)即y=-3x2 252x-4860 由此可知y是x的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n 3）块瓷砖，每一竖行共有（n 2）块瓷砖；

       （2）y=(n 3)(n 2)即y=n2 5n 6.四、师生互动，课堂小结 1.二次函数的定义；

       2.熟记二次函数y=ax2 bx c中a≠0,a、b、c为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.课后作业

       1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题； 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.教学反思