第一篇：函数的单调性教学设计及评课
函数的单调性教学设计及评课
关键词：单调性；教学设计；评课
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1009-010X（2022）14-0059-06
一、学习内容分析：
“函数单调性”概念以函数思想方法为核心，与函数定义、性质、特殊函数等其它数学知识有紧密联系。在初中教材中，函数递增（递减）概念依据变量之间依赖关系，对函数变化趋势进行描述；而高中函数单调性概念是用解析法刻画函数在其定义域内某区间上图像的变化及变化趋势，同时结合函数图像进行几何解释。在新概念学习过程中，要注重函数单调性概念的理解，同时突出函数单调性的研究方法，注重让学生在研究过程中，体会用代数方法研究函数特征的必要性与重要性，设计合理的学习活动，增进学生的体验与经历，提升学生数学抽象、数学运算等数学核心素养。有了以上学习积累与经验，学生在研究函数其他性质、解决相关函数问题时，可以运用函?档サ餍灾?识与思想方法对函数其他相关问题进行研究。函数的单调性在高中数学中具有核心地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标分析
1.注意图形语言到符号语言过渡。通过对现实问题的观察，感悟准确用符号语言表达数学现象的必要性，领会准确用符号语言对描述函数性质的基本方法。引导学生用准确的数学语言归纳、表达、函数单调性概念。
2.通过学生熟悉的初等函数特例研究，理解和感受用解析法证明函数单调性基本思想与过程，增进学生逻辑推理与运算能力；并能根据定义证明函数在给定区间上的单调性。
3.运用数形结合方法，利用图像和定义判断特殊函数的单调性，发展几何直观素养。
4.通过对若干数学问题的理解，感受函数单调性在刻画函数变化规律、解释现实问题中的思想方法与作用，特别通过对现实实际问题的解决，感受数学的应用价值，提升学生数学学习兴趣。
三、情境与问题分析
1.通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本课主题函数单调性，同时借助多媒体的直观展示，让学生观察函数图像变化趋势，过渡到用代数语言表达函数单调性。
2.设置“问题串”引导学生深入思考与研究，总结研究函数性质规律与方法。
3.设计数学“学习活动”，将数学习题与练习转化为学习问题，结合例题设置“螺旋上升”式思考问题，逐步让学生感受并理解以下问题：单调性定义中，如何理解自变量在给定区间取值“任意”性？满足什么条件函数就是单调函数？函数单调性与函数区间有什么关系？单调函数证明基本思路与步骤是什么？
4.设置与现实相关的问题与情境，感受利用函数单调性定义证明函数单调性过程，体会利用函数单调性表达现实世界的数学方法，培养学生数学建模素养。
四、整体把握数学学习价值
函数单调性是学生高中阶段学习的第一个函数特性，是学生进一步体会函数思想与特殊函数模型的一个重要环节。教学分为三个层次逐步提升学生数学感知与素养――第一个层次，创设情境引出课题，让学生充分认识到数学源于生活，又能应用于生活，进而激发学生的学习兴趣，感受“知识从哪里来”；第二个层次，设置合理学习事件与环节，自主探究数学概念，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，通过逐级抽象，体会数学抽象的价值，掌握数学抽象的过程，在学习经历中提升学生数学抽象素养；第三个层次，理解概念与初步应用，尝试用概念解决问题是提升概念理解的最佳途径，在这一过程中，教师要引导学生 “回归概念”，体会用函数单调性概念理解和解释数学问题的基本思路与方法，在用概念过程中培养学生严谨推理与证明的习惯，提升学生逻辑推理素养。
五、学生学情分析：
学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，从初中描述性递增（递减）函数出发，需要把具体的、直观的函数单调性的特征抽象出来，并用数学的符号语言描述，存在一定思维跳跃；第二，利用定义证明函数的单调性过程，对学生在代数方面严格推理能力的要求较高，应该给予学生自主尝试空间与时间，引导学生用代数语言进行严谨的数学推理与证明。
六、学习的重、难点：
重点：1.函数单调性的概念抽象过程。
2.函数单调性概念理解。
3.判断和证明函数的单调性。
难点：理解函数单调性的概念。
七、教学策略分析：
1.多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观认识，为概念的引入提供了必要性，让学生结合已有的初中学习经验进入新课题研究。
2.利用“问题串”引导学生探究学习。围绕本节课“核心问题”，展开小组合作与交流。
3.实验器材的恰当使用，提高了课堂的趣味性，丰富了学生的直观感受。
4.多媒体展示和学生“板演”相结合，提高课堂效率的同时注意数学推理严谨性。
八、教学过程：
（一）创设情境，引入新知
观察一个图形（函数），（通过多媒体给出承德市今年8月8日气温变化曲线图）
思考问题：同学们共同观察承德市今年8月8日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t，温度为T，这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？
预案：教师结合学生回答追问：如果设时间t为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？这个函数的定义域及它的对应关系？
【设计意图】
回归函数定义，师生共同总结：该曲线反映了气温T随时间t的变化规律，在区间[0，24]内每给一个时间t的值，根据图像都有唯一确定的温度T与之对应，是一个函数。
师：观察图像，结合已学过的函数观点，你能说出这一天的气温变化规律吗？
设计要求，学生独立思考，师生共同交流辨析。单调函数：（1）当天的最高气温，最低气温及何时达到；（2）某些时段温度升高，某些时段温度降低。
思考问题：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内，根据函数在定义域某一个范围内变化规律，把定义域分成若干部分进行研究，你又会发现什么规律？
师生共同归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性，引出课题，板书课题。
思考问题：除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗？
预案：（1）承德市橡胶坝水库一年中水位随时间的变化；（2）某段时间学生身高的变化。
师生共同归纳：抛开实际背景，从函数观点看，它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化，函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；在初中学会用文字来描述函数的单调性，这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式：用符?语言对单调性进行代数刻画。
【设计意图】
生活情境引入新课，可以激发学生的学习兴趣，让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标。
（二）探索归纳，建构定义
观察下列函数图像，说出函数的变化规律。
①f（x）=x；②f（x）=-x 1；③f（x）=x2
预案：学生回答图像变化趋势并描述函数的变化规律，回答思路基本利用初中“描述法”。
【设计意图】
1.由图像认识增函数与减函数，直观且易于学生接受；
2.为单调函数定义中的关键词“区间上”作铺垫；
3.让学生反复体会数形结合的思想。
核心问题1：根据上面的描述，对比函数f（x）=x与f（x）=x2在区间（-∞， ∞）上的变化规律，说出它们的不同点？
预案：函数在整个定义域上都是增函数，f（x）=x2是在定义域内的区间（0， ∞）上是增函数。
教师追问：如果要定义增函数，应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢？
师生共同归纳：单调性应与定义域内的区间相对应。
核心问题2：请归纳函数f（x）=x，f（x）=2x 1在其定义域上和函数f（x）=x2在区间（0， ∞）上的共同特征，并试着用符号语言表述“函数f（x）在定义域内某区间D上是增函数”。
设计要求，学生独立思考后并回答出共同特征，然后进入小组合作探究，探究核心是，如何用符号语言表述“函数f（x）在定义域内某区间D上是增函数”。
预案：增函数的共同特征：在定义域内某区间D上，函数值随自变量的增大而增大；不同小组进行符号表述，但学生描述可能不准确，如： 在区间D上，取两个自变量值x1，x2，当x1 【设计意图】 由特殊到一般，归纳得到增函数定义，在自主探究阶段中产生认知冲突，利用学生的思维节点引导更深层次的思考。 讨论交流问题：“在函数f（x）=x2的定义域（-∞， ∞）上，取两个自变量值x1=-1，x2=2，由x1 预案：（1）在定义域（-∞， ∞）上不是增函数（举反例如x1=-3，x2=2）；（2）在（0， ∞）上取特殊值；（3）x1，x2取特殊值不具有代表性，任意取才能代表区间上的所有值。 师生共同思考辨析：归纳得到增函数定义，进一步完善学生对增函数理解。 【设计意图】 定义中取值的“任意性”是关键点，也是学生理解的难点问题，为了帮助学生对给定区间两个不同自变量取值的“任意性”理解，教师应给以适时的点拨：区间上的值有无数多个，是取不完的，因此应该注意取值的“任意性”，不可由特殊值代替取值“任意性”。 （三）严格定义，理解概念 教师学生共同给出增函数定义，并研究增函数定义本质。 思考问题：有了增函数的定义，请你具体谈谈你对“f（x）=x2在区间（0， ∞）上是增函数”是怎样理解的？ 预案：对定义域： 研究函数性质，首先应该在定义域内研究； 针对（0， ∞）这个区间，单调性与定义域内区间相对应，是局部概念；两个自变量的取值的任意性，代表了区间上所有值；自变量变化与相应函数值变化的一致性。 【设计意图】 逐步深化对单调函数定义的理解。 教师追问：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？ 【设计意图】 让学生通过类比，归纳概括出减函数定义。 师生共同辨析：减函数定义及单调区间概念。 教师引导：函数f（x）=x在整个定义域内都是单调的，而函数f（x）=x2在其定义域（-∞， ∞）内不单调。 核心问题3：回到前面引课时的气温曲线，说出函数的单调区间，并指明函数在相应区间上是增函数还是减函数。 【设计意图】 让学生正确表达单调区间以及函数在相应区间上的单调性。 组织活动交流：师生共同检测判断学生对定义的理解情况，并说明理由。 巩固练习：判断下列说法是否正确，并结合定义说明理由。 （1）定义域为（0， ∞）的函数f（x），满足f（n） （2）对于定义域内的区间D，若任意x1，x2∈D，当x1>x2时，都有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在D上是增函数.（） 变式：函数f（x）在D上增函数，若任意x1，x2∈D，f（x1）>f（x2），则有x1______x2.（3）对于定义域内的区间D，任意x1，x2∈D，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0，则函数在D上是增函数.（） 【设计意图】 深化学生对定义的理解，进一步巩固概念。 师生总结归纳：有了定义，对函数的单调性应该有新的认识：单调性反映了在定义域内某个区间上随自变量的变化，单调性的定义从代数形式刻画函数变化趋势，更加严谨准确。借助图像可以直观感知单调性，但无法操作，而且并不是所有函数的图像都很简单，有些函数图像画不出来，但可以应用函数单调性的定义证明一个函数是否具有单调性。 （四）知识应用 例1：用定义证明：函数f（x）=2x 1在其定义域上是增函数.设计要求，关注推理证明严谨性与推理证明基本思路。（1）用区间表示定义域；（2）取值（突出“任意性”）两个不等的自变量值x1，x2，预案：以下有学生完成：不妨设x1 学生完成证明后，教师追问：如何比较f（x1），f（x2）的大小呢？希望获得什么关系，结论是什么？你的基本推理证明过程是否完整？推理证明基本思路是什么？你对严格的推理证明有什么感受？在数学推理证明过程中需要注意什么？总结归纳。 【设计意图】 让学生学会如何分析问题，并初步体会用定义法证明单调性的过程中逻辑严密且言必有据；增强了学生运用代数法描述单调性的信心。 师生共同演示小实验：向上拉动活塞，在实验仪器中用手指封住一定量的气体，记下此时仪器上的刻度，用力向下压活塞并记下此时仪器上显示的刻度，结合手指的感觉，猜想压强P随体积V的变化规律。 例题2：物理问题（见教材） 【设计意图】 不同小组展示，纠正用定义证明过程中出现的错误，让学生明确如何从条件和已知出发获得想要的结论和用定义证明单调性的步骤。 教师追问：总结以上两个例题相同点、不同点；总结归纳证明函数单调性一般思路与方法。 （五）能力提升与拓展 【设计意图】 通过学生之间的交流，举出反例，使学生能够正确理解单调性与区间相对应，并能正确书写函数的单调区间。 （六）课堂小结： 本节课你有哪些收获？（学生交流本节课学习过程中的体会和收获，师生合作共同完成小结）； 用定义证明函数单调性的方法和步骤：取值，作差、变形，判定符号，下结论； ②数学思想方法：数形结合；等价转化；归纳和类比等思想方法的运用。 （七）分层作业： 必做题：课本32页《练习》 九、对《函数的单调性》一节课的评课 函数是高中数学内容主线之一。“函数的单调性”具有承上启下作用，与其他数学知识有紧密关联；函数单调性蕴含着用代数方法研究函数的思想，在理解、归纳、应用函数单调性概念过程中，需要从具体函数出发，完成逐级抽象过程，并利用函数单调性概念解决一些抽象问题和现实问题，对于提升学生数学逻辑推理、抽象运算素养具有重要意义。本节课教学设计从初中学生思维起点出发，结合现实问题，利用函数思想方法研究一个现实问题或特殊函数变化规律，在概念形成阶段，凸显概念抽象过程；在概念巩固理解阶段突出概念本质，在概念应用阶段凸显数学逻辑推理的严密性，在研究与学习过程始终注意“数形结合”，凸显“几何直观”；在数学活动中，凸显学生主观能动性，对培养学生数学思维与数学素养起到积极作用。下面从几个方面进行具体评析。 （一）数学学习情境设计到位 从学生思维角度出发，从学生熟悉情境中提炼数学材料与问题，关注情境问题与其他知识的关联性。情境设计既有现实情境又有恰当的数学情境。本节课数学学习是从现实世界现象或数学的内部问题开始的，现实生活中存在大量递增或递减问题，那么引导学生从数学的角度或方法来认识这些现实世界问题，并将这些问题转化为数学学习的材料，让学生了解知识的背景、激发学生学习数学的学习欲望，是数学教学的一个重要环节。为了实现这一目的，从学生熟知的“温度变化”入手，“创设情境，引入新知”，教学中，抓住新旧知识联系，从学生认识出发，回归函数定义，并引出新知，这样设计课堂教学情境，是符合数学知识特征和学生认知规律的。 （二）注意从整体把握数学学习与教学 从知识上，关注初中知识、高中函数概念、已经学习的特殊函数，关注与其他学科知识关联；从思想方法上，关注本节课数学本质，注意凸显代数方法的表达与抽象过程，如本节课设计了一个合理的“探索归纳，建构定义”抽象过程；从数学教育价值上，关注数学思维品质培养，学会数学思考，关注数学核心素养发展过程。在学生观察感知阶段，给出学生熟悉的特殊函数，提出问题，让学生利用旧知识进行分析，同时建立新旧知识联系，让学生感受从哪些角度、什么方法分析函数变化规律，判断研究对象是具有什么基本特征的函数等；其次初步利用解析法分析概括特殊函数的本质特征，通过对学生已经学习或掌握的数学经验或材料，经过学生辨别、类比、化归、概括、抽象等过程，感受一类事物的本质属性，即概念或定义的本质属性；最后，明晰数学定义，初步运用定义，合理设计教学环节，完成从具体到抽象、从特殊到一般，最终形成一般函数单调性定义；分析利用解析法描述函数单调性关键因素，比如对函数在给定区间“任意性”的讨论、回归课堂情境中的问题、利用“函数单调性”定义判断分析等，都是围绕新定义本质，引领学生体会新定义在分析研究函数单调性过程中带来了哪些方便，体会运用数学方法进行严密的数学推理与运算等。 （三）围绕数学本质，提出了一系列有学习思考价值的“问题串” 问题是数学学习的基本思路和方向，它既体现数学学习知识载体，又体现数学思想方法和数学学习策略。本课教学设计能够围绕核心内容，设计系列“问题串”，提升课堂思维质量，教师提出问题的质量决定了教学的质量，课堂问题要能够反映数学本质，并在学生思维最近发展区内发问。教师围绕变量本质特征，结合函数概念本质，设计提出问题，引出新课题，围绕“解析法”归纳、总结、提炼一类事物本质属性，认识单调性本质，关注用定义中数学语言分析研究对象，指导学生运用定义解决现实问题。本教学设计有效发挥了“问题串”引领、提升数学思维能力的作用。 本节课教师关注师生互动，给予了学生思维发展空间，但在如何发挥学生能动性，让学生“冲锋在前”主动提出“自己的问题”方面，以及形成更多的课堂生成方面，?需进一步改进与提升。 函数单调性教学设计 关于函数的单调性习题课教学设计，本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅，结合平时的教学，有些教学方面的心得如下，希望专家和同行批评指正。 本节课是高中数学新课程标准必修1的第2章函数里的函数基本性质中介绍的第一个性质。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数各类函数的单调性的基础，而且函数单调性在解决函数变化趋势、值域、最值、不等式等许多问题中有着广泛的应用。对整个高中数学教学起着重要的奠基作用。研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。下面我就这部分内容的习题教学提出一些不成熟的做法。 教学目标： （1）在知识方面，通过习题训练，使学生能加深对函数单调性概念的理解，进一步掌握判断并证明函数的单调性方法、学会应用函数的单调性解决相关问题。 （2）在能力方面，培养学生归纳、抽象以及推理的能力，提高学生创新的意识，并渗透数形结合的思想。 （3）在价值观和情感教育方面，让学生在解题的过程中体验数学美，培养学生乐于求索的精神，提高学生的数学修养，使其养成科学、严谨的研究态度。教学重点和难点： 本节课的教学重点是函数单调性的判定、证明及应用。其中的教学难点是函数单调性的应用和复合函数单调性的理解。教法和学法： 在教法上采用传统的讲练结合。在具体实施上，将采用计算机辅助教学的手段，为了贴切地服务于教学目标，课件的制作是为了能更好的讲练习题，提高课堂效率，用是PowerPoint软件。而学生在学习过程中不仅要训练知识技能，还要达到思维的训练，因此这节课要以学生为主体，给学生充足的活动空间。作为教师，我要做好启发和规范地指导，引领学生大胆地探索，并培养其严谨的数学品质。 教学过程设计： 大概分为复习回顾、例题讲解、规律小结、巩固练习四个版块，最后布置作业。下面为每部分的具体构思。 1、复习分为概念回顾和基础练习两部分，预计费时7到8分钟左右，其中概念为（1）函数单调性和单调区间的定义以及用定义证明函数单调性的步骤，（2）怎么判断函数单调性及单调区间——可以用定义法，也可以从图象上观察。形式主要由学生口答。基础练习部分选择了5道小题目，课件形式给出，请学生口答，内容涉及单调性的理解，一次函数、二次函数的单调性，最后一题让学生们画出图象，观察图象的“升降”写出单调区间，渗透数形结合的思想，都是小题目，难度小，用时少，但紧扣概念，也让学生迅速热身，无形中抓住了学生的课堂注意力。 2、例题选择方面： 关于例 1、试判断函数f(x)变式：讨论函数f(x)x(1x1)的单调性并证明； x21ax(1x1)的单调性。x21选择这个题目是为了让学生更好地掌握定义法证明函数单调性的方法和基本步骤，变式的选择是为培养学生分情况讨论的意识和能力，讲解过程中要注意证明的规范性，进一步培养学生严谨、规范的科学态度和品质。 关于例 2、求函数yx21的值域。x2函数单调性的一个很重要的应用是求函数的值域或最值，选择这道题，教会学生利用单调性来求函数值域的方法。让学生体会利用单调性求值域时的简捷有效。丰富学生的知识体系。 关于例 3、已知函数f(x)是定义在(0,)上的增函数，且f()f(x)f(y) xy（1）求f(1)的值 （2）若f(3)1,解不等式f(x5)2 这是一道抽象函数的题目，对于求出f(1)、f(9)分别是0和2用的是赋值法，这是抽象函数中常用的方法，不等式变为f(x5)f(9)，应用函数单调性，将抽象函数函数值的大小关系，转化为自变量之间的大小关系，即x59，提醒学生注意函数定义域！ x50选择这个抽象函数的例子，目的就是让学生体会并掌握怎么样利用单调性转化函数和自变量的大小关系。 关于例 4、已知f(x)是R上的减函数，g(x)x24x，求函数h(x)f(g(x))的单调增区间。 最终的那个函数明显是个复合函数，函数g(x)图象的对称轴是x2，开口向下，在[2,)上递减，又f(x)也递减，所以[2,)是个增区间。 本题小结：两个函数单调性相同则复合后是增，相反则复合后是减。 3、关于这部分的课堂小结： 我们可以应用函数的单调性求函数值域、解不等式，以及证明一些代数命题。 4、关于巩固练习题目方面的选择： 这部分选两题，类型在例题中已出现，其中第一个要先证明函数的单调性，再求值域。而第二题则先要判断单调性，再进行证明，确定了单调性之后再应用到三角形的问题中，使学生在解题的过程中体会在一些代数不等式证明中如何应用函数单调性的。 这部分让学生自己做，用投影仪和板书结合，规范其书写和论证。 5、关于作业布置方面： 结合本节课的讲解内容，为进一步巩固教学成果，在作业题型选择上，本人力求做到紧扣和深化上课内容。一共有三大题，第一题是求单调区间，其中要用图形，数形结合；第二题要利用例4的小结“两个函数单调性相同则复合后是增，相反则复合后是减。”；第三题是抽象函数题，与课上的例3类型一样，让学生课后练习巩固。 以上是我对这部分习题教学方面的一些思考，希望得到专家的指正！ “函数的单调性”微课教学设计 杜小平 罗定实验中学 一、教学目标： 1、知识与技能目标：让学生理解增函数和减函数的定义，能根据定义证明函数的单调性；并能根据函数图像说出函数的单调区间。 2、过程方法与能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合、类比等数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 3、情感、态度与价值观目标：体会感悟数形结合、归纳、类比的重要数学思想。 教学目标： （一）知识与技能目标 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义 2、会根据函数的图像判断函数的单调性 3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 （二）过程目标 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、通过利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理 能力的培养 （三）德育目标（情感、态度和价值观） 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，分析归纳，严谨论 证的良好习惯 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参 与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学 的自信心 二、教学的重点和难点 重点：函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性； 难点：归纳并抽象出函数单调性的定义，根据定义证明函数的单调性。 三、教学过程设计 创设情境，引入课题 如图为广州市某一天内的气温变化图： 师：从左到右观察这个气温变化图，哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？从4点到14点气温上升，从0点到4点和14点到24点气温降低。除此之外，我们还能得到什么信息？ 师：我们可以从图中看到温度随时间不断在变化，而且从图上可以看出在某时刻的温度。下午两点时达到最高温度10℃，凌晨4点达到最低温-4℃。 师：一个图赋予我们很多有用的信息。我们的生活经常可以看到这些类似的图形。比如股票行情图，双色球中奖号码的频率分布折线图。水位变化、心电图、燃油价格变化图、国家GDP变化图等等，生活中这样的例子比比皆是，可见我们的生活与数学息息相关，随处可见。这些数据的变化，用函数的观点来看，其实就是随着自变量x的变化，函数值y是变大还是变小的情形。函数图象的上升和下降趋势反映了函数的一个重要性质--函数的单调性。借助图象，直观感知 2师：那么，如何研究函数图象的“上升”、“下降”呢？首先观察两个函数yx 2、yx的图象，它们的图象趋势有什么特征？ 2师：函数yx2的图象从左到右是上升的。函数yx图象在y轴左侧下降，右侧上升。 师：函数图象上升，通常我们会说y随x的增大而增大。那么如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增大而减小”？ 师：现在我们以函数yx2(x0)为例。大家一起来观察函数图象中的x值与f(x)值的变化过程，你觉得x与f(x)之间有什么样的变化联系？ 师：随着x值的增大，相应的f(x)值也增大。这种随着x值的增大，相应的f(x)值也增大的函数，我们称为增函数。类似的，观察函数yx2(x0)图象，这种随着x值的增大，相应的f(x)值越来越小的函数，我们称它减函数。 师：函数单调性反映函数值随自变量变化的增减情况。不过，我们刚才的认识是从图象的角度得到的，只是对函数单调性的直观、描述性的认识。归纳探索，形成概念 3.1 概念的语言描述 师：那么，函数y2究竟是增函数还是减函数？ x（xR）师：是增函数？是减函数？还是既是增函数又是减函数？ 师：这个函数图象的确有增有减。注意到要分情况考虑。哪种情况增，哪种情况减？函数yx2在左边的图象是减函数，在右边的图象是增函数。刚才我们提到x值增大时y的变化。主要是相对x轴正方向来研究图象从左到右的变化。也就是在(,0)上y随x的增大而减小，在(0,)上y随x的增大而增大。当x(,0)时，函数y x2为减函数，当x(0,)时，函数yx2为增函数。师：函数的单调性与x的取值范围有关。函数yx2不是在整个定义域R上是单调函数，而是在定义域R上的某个子集，比如在(,0)、(0,)上是单调函数。所以说单调性是函数的局部性质。师：想一想，函数的单调性如何下定义呢？ 师：在区间D上，随着自变量x值的增大，函数f(x)值越来越大，我们称函数y=f(x)在该区间D上为增函数，该区间D叫做函数f(x)的增区间。反之叫做减函数，区间D为减区间。 3.2 概念的符号表征 师：刚才从图形上已经得出函数y这个函数是增函数呢？ 师：能否取两个数？比如当x=1时，y=1，当x=2时,y=4，所以y x2在(0,)上为单调递增函数。 x2在区间(0,)上为单调递增函数。如何从“数”的角度证明这样说是否恰当？我们知道，特殊不能代表一般。所以这样取是错误的。取得数要能代表“所有数”。怎么才能体现区间上的所有值呢？举个例子，全国召开人民代表大会，是不是所有老百姓都参加？派代表，所以我们考虑用字母代数吧。一般选x1和x2为区间上的任意两个数。函数为增函数，应当f(x1)f(x2)。 3.2.1 给出函数单调性的定义： 对于函数yf(x)，如果对其定义域I内的某个区间D上取任意两个自变量值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是增函数，如图（1）。 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是减函数，如图（2）。 师：任意x1,x2[0,)且x1x2，证明f(x1)f(x2)是增函数。师：如何研究f(x1)f(x2)？ xx2(x1x2)(x1x2)0，师：作差。f(x1)f(x2)1因为22所以x1x20，且x1x2，x1,x2[0,)，22即x1x20 所以x1x20,即f(x1)f(x2)，所以f(x)x2在[0,)上为增函数． 证明函数单调性的步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1 取 值，作 差，变 形，定 号，下结论。那么现在可知判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明。 3.2.2 概念辨析、判断正误。这个函数的定义域是什么？ 思考：反比例函数y的图象． ○ x 它在定义域I上的单调性怎样？ ○1．如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的图象，根据图象说出是增函数还减函数。 四、课堂小结，知识梳理 1、增、减函数的定义。 函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。 2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明。 3、函数单调性证明的步骤：取 值，作 差，变 形，定 号，下结论。 函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计 北京教育学院宣武分院 彭 林 函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。 关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？ 在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。 就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。 第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。 第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。 第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。 基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。 让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的． 在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数． 关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？ 对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。 所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的： 右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减 对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？ 从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？ 一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点： （1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。 用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。 在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！ 因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明 在上为增函数？ 这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种： ①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以 在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。 对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明 就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。 教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题： 判断题： ①②若函数③若函数满足f(2) 和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数． 从而加深学生对定义的理解 北京4中常规备课 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1)由于某种原因，2022年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知 问题1： 分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函 预案：(1)函数 在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小． (2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． (3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小． 引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数． 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识 问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数 学生的困难是难以确定分界点的确切位置． 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究． 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明 在为增函数？ 22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数． (2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以 在,因为 为增函数． 在为增函数． 在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量． 【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念 问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题： ①． ②若函数 ③若函数 在区间 和(2,3)上均为增函数，则函数 在区间(1,3)上为增函 ． ④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在 通过判断题，强调三点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数． 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展 例 证明函数 在上是增函数． 1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 证明：任取 ，设元 求差 变形，断号 ∴ ∴ 即 ∴函数 2．归纳解题步骤 在上是增函数． 定论 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数 问题：要证明函数 在区间 上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对 在上是增函数． 任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在 〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔． 四、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 1．小结 (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业 书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数 在区间 上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且 有． (2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 《函数的单调性》教学设计说明 一、教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点． 二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成． 三、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入． （2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤． （3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔． 函数的单调性教学设计 江苏省苏州第十中学 吴锷 【教材分析】 《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】 知识与技能： 1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法： 1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度： 1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。 2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】 重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】 为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了： 1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。【学法分析】 在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】 （一）问题情境 1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下无”。海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。潮起潮落，牵动了无数人的心。 如何用函数形式来表示，起和落？ 2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。 如何用学过的函数图象来描绘这些成语？ 设计意图：创设海宁潮潮起潮落，成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们 对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。 （二）温故知新 1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。 观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。 2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究yx2时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。 回忆初中对函数单调性的解释： 图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。 函数这种性质称为函数的单调性。 设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。 （三）建构概念 问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。 单调增函数的定义：问题4：如何定义单调减函数呢？ 可以通过类比的方法由学生给出。 设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。 （四）理解概念 1．顾名思义，对“单调”两字加深理解 汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2．呼应引入，解决问题情境中的问题 如：y2x1的单调增区间是(,)；y3．单调性是函数的“局部”性质 如：函数y上减函数？ 引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2 1在(0,)上是减函数。x11在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y在定义域(,0)(0,)上xx 1）。 2设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。 （五）运用概念 通过两例，教师要向学生说明： 1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。 2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y|x1| 1、y|x21|的图象，写出他们的单调区间。 设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。 （六）回顾总结 本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。【教学反思】 1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。 2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。 4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。 5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。 6．教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对“函数单调性”教学设计，我对“为学习设计教学”有了更深的理解。如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本和核心任务，是教学设计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。本节课就是通过这样的设计思想来安排教学设计的。第二篇：函数单调性教学设计
第三篇：“函数的单调性”优课-教学设计
第四篇：函数单调性
第五篇：函数的单调性教学设计
