2022年秋初二数学竞赛试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的.答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．
1.在实数范围内算术平方根等于它本身的数有（）
A.个
B.个
C.个
D.个
2.下列各数中，属于无理数的是（）
A.B.C.D.3.下列分解因式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
4.下列运算错误的是（）
A.B.C.D.5.下列命题正确的是（）
A.三个角对应相等的两个三角形全等
B.三边对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.周长相等的两个三角形全等
6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示，则能说明的依据是()
A．ASA
B．
SSS
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
7.若，则的值为（）
A.B.C.D.二、填空题（每小题4分，共40分）：
8.计算：
．
9.写出两个不同的无理数，使这两个无理数的积为有理数，那么
这两个无理数可以是
和
．
10.如果，且，那么
．
11.计算：
．
12.命题：“如果两个角互余，那么这两个角的和为”的逆命题为
．
13.如图，已知在中，是的中点，，垂足分别是、，则图中有
对
全等三角形．
14.若
则__________．
15..如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．
16.如图，已知中，是高和的交点，则线段的长度为
．
17.如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小菁依下列方法作图：
①
作∠A的角平分线交BC于D点．
②
作AD的中垂线交AC于E点，交AD于F点．
③
连接．
(1)根据所画的图形，下列正确的是（填序号）；
A．DE⊥AC
B．DE∥AB
C．CD＝DE
D．CD＝BD
(2)若，则__________．
三、解答题（共89分）：
18.（9分）计算：
19.(9分)
计算：
20.(9分)已知，求代数式的值.21.(9分)如图，在中，,，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板
斜边的两个端点分别与，重合，连接，.试猜
想线段和的数量及位置关系，并加以证明．
22．(9分)若，求代数式的值．
23.（9分）如图，已知于点，于点，且，相交于点．
求证：(1)当时，；
(2)当时，．
24.（9分）如图，在四边形中，是的平分线，∥，连接、，求证：（1）
（2）是的平分线．
25.（13分）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为
(<)厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含、的代数式表示纸片（阴影部分）的面积；
②当，时，利用因式分解计算折合后纸盒的表面积；
（2）当，时,求出纸盒的底面积．
26.（13分）已知：如图1，点为线段上一点，都是等边三角形，交于点，交于点.(1)求证：；
(2)求证：为等边三角形；
(3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.初二
数
学
试
题
参考答案及评分意见
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分意见”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．C
2．C
3．D
4．A
5．B
6．B
7．A
二、填空题（每小题4分，共40分）
8． 9．不唯一
如：，10．
11． 12．如果两个角的和为，那么这两个角互余.13．
14． 15．α=β γ
16．4
17．⑴
B
⑵
三、解答题（共89分）
18.解原式……………………………………………6分
…………………………………………………………9分
19.解：原式
…………………………3分
………………………………………6分
……………………………………………………9分
20．解：∵
…………………………………4分
当
即
∴……………………………………9分
21．解：BE＝EC，BE⊥EC
证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.又∵EA＝ED
∴△EAB≌△EDC
(SAS)
……………………………………………………5分
∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.……………………9分
22．解：由，得：
…………………………………5分
………………………9分
23．证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OE＝OD.∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，∴△OEC≌△ODB（AAS）
∴OB＝OC.………………………………………………………………４分
(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∴△OEC≌△ODB(AAS)
∴OE＝OD.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴△OEA≌△ODA(HL)
∴∠1＝∠2.………………………………………………………………９分
24．解：（1）∵是的平分线，∴
又
∴≌(SAS)
∴．
………………………………………5分
（2）∵≌
∴
∴
∵∥
∴
∴
∴是的平分线……………………９分
25．解：（1）①（）.…………………………………（4分）
②
折合后纸盒的表面积=.…………（6分）
当a=6.4，b=1.8时，原式=(6.4 2×1.8)(6.4-2×1.8)=28
…………………………（8分）
（注：没有因式分解得出正确结果，扣1分）
(2)
纸盒的底面积=……………………………………（10分）
当a 2b=8，ab=2时,………………………（13分）
26．证明(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形
∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°…………………2分
∴△CAN绕着C点顺时针旋转60°会与△MCB重合，∴△CAN≌△MCB
∴AN=BM
……………………………………………4分
(2)
∵△CAN≌△MCB
∴∠CAN=∠CMB
又∵∠MCF=180° ∠ACM ∠NCB=180° 60° 60°=60°
∴∠MCF=∠ACE
∴△CAE绕着C点顺时针旋转60°会与△CMF重合，∴△CAE≌△CMF……………………………………………………7分
∴CE=CF
∴△CEF为等腰三角形,又∵∠ECF=60°
∴△CEF为等边三角形.……………………………………………(9分)
(3)画图正确
………………………………………………(11分)
结论仍然成立.………………………………………………………(13分)
