2022考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析详解（样例5）

第一篇：2022考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析详解

       为学生引路，为学员服务

       2022考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析 详解

       合同矩阵与相似矩阵是线性代数中的两个相近概念，它们既有一定的类似性和关联性，但二者又有区别，它们的含义和性质是不同的，有些同学对这两个概念弄不清楚，搞不明白它们之间到底有什么区别，在主流线性代数教材上也没有对它们进行比较分析，在做涉及到这两个概念的习题时也不知道从何下手，为了帮助这些2022考研的同学解决这个难题，本文对合同矩阵和相似矩阵的主要判别方法做一下总结，并对往年考研数学试题中的这类题做些分析。

       一、矩阵合同与相似的主要判别方法

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       为学生引路，为学员服务

       从上面的判别方法和典型例题看到，如果两个实对称矩阵相似，则它们的特征值完全相同(包括特征值的重数也相同)，因此它们的正、负惯性指数也分别相等，从而这两个矩阵是合同的，但如果不是实对称矩阵，则相似矩阵不一定是合同矩阵;另外，合同矩阵不一定是相似矩阵，这些区别希望同学们理解。

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第二篇：考研数学线代

       考研数学常见的十种题型列出如下：

       一、运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。

       二、运用导数求最值、极值或证明不等式。

       三、微积分中值定理的运用，证明一个关于“存在一个点，使得……成立”的命题或者证明不等式。

       四、重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。

       五、曲线积分和曲面积分的计算。

       六、幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。

       七、常微分方程问题。可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。

       八、解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。

       九、矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。

       十、概率论与数理统计。求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。

       此外还需提醒考生，到考前一周，考研数学，这个时候就只能在考场上看看题型，总结失利原因了。若因晚上熬夜影响考试是最得不偿失的事情，而在考前一周能预防的就是此事的发生了。即使开了夜车而在考场也没有睡着，但头脑不清楚，对数学的考试依然是非常不利的，因为数学计算与证明思路最需要清醒和快速的反应。

       对于考数学的考生来说，数学的150分是很重要的，下面是一些考研数学的常识，希望对大家有帮助。

       2022考研数学常识：卷种及考试内容

       考研数学从卷种上来看分为数学

       一、数学

       二、数学三;从考试内容上来看，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计;试卷结构上来看，设有三种题型：选择题(8道共32分)、填空题(6道共24分)、解答题(9道共94分)，其中数一与数三在题目类型的分布上是一致的，1-

       4、9-

       12、15-19属于高等数学的题目，5-6、13、20-21属于线性代数的题目，7-8、14、22-23属于概率论与数理统计的题目;而数学二不同，1-

       6、9-

       13、15-21均是高等数学的题目，7-8、14、22-23为线性代数的题目。

       一、科目考试区别： 1.线性代数

       数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识，不过通过研究近五年的考试真题，我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过，其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点，而且从近两年的真题来看，数

       一、数

       二、数三中线性代数部分的试题是一样的，没再出现变化的题目，那么也就是说从以往的经验来看，2022年的考研数学中数

       一、数

       二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!2.概率论与数理统计

       数学二不考察，数学一与数学三均占22%，从历年的考试大纲来看，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件，广大的考研学子们都知道大纲中的“了解”与“掌握”是两个不同的概念，因此，建议广大考生在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲，不要做无用功!3.高等数学

       数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。由于考察的内容比较多，故我们只从大的方向上对数一、二、三做简单的区别。以同济六版教材为例，数一考察的范围是最广的，基本涵盖整个教材(除课本上标有*号的内容);数二不考察向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数;数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及所有与物理相关的应用。

       二、试卷考试内容区别 1.数学一

       高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的欧拉方程，伯努利方程外，其余带*号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第四章不定积分不考积分表的使用；第九章第五节不考方程组的情形；第十二章第五节不考欧拉公式； 线性代数：数学一用的教材是同济五版线性代数1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。其中向量组的线性相关性中数一考向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合数一也要考；

       概率与数理统计：

       1、概率论的基本概念

       2、随机变量及其分布

       3、多维随机变量及其分布

       4、随机变量的数字特征

       5、大数定律及中心极限定理

       6、样本及抽样分布

       7、参数估计

       8、假设检验 2.数学二

       高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的伯努利方程外，其余带*号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第四章不定积分不考积分表的使用；不考第八章空间解析几何与向量代数；第九章第五节不考方程组的情形；到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了。

       线性代数：数学二用的教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。概率与数理统计：不考。3.数学三

       高等数学：同济六版高等数学中所有带*号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第三章微分中值定理与导数的应用不考曲率；第四章不定积分不考积分表的使用；不考第六章定积分在物理学上的应用以及曲线的弧长。第七章微分方程不考可降阶的高阶微分方程，另外补充差分方程。不考第八章空间解析几何与向量代数。第九章第五节不考方程组的情形，第十章二重积分为止，第十二章的级数中不考傅里叶级数；

       线性代数：数学一用的参考教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题；

       概率与数理统计的内容包括：

       1、概率论的基本概念

       2、随机变量及其分布

       3、多维随机变量及其分布

       4、随机变量的数字特征

       5、大数定律及中心极限定理

       6、样本及抽样分布

       7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。

       广大的考研学子们，考研数学要想取得高分并不难，但是想要考得满分也不容易，在这里老师提醒大家，在考研数学复习的初期一定要有一个考研数学考试大纲，14、13、12年的都可以，因为考研数学的大纲这么多年来压根就没变过，唯一变化的是将克莱姆法则改成了克莱默法则。建议大家认真研读考试大纲要求，弄明白自己考试什么不考什么，做到有的放矢!最后，预祝2022的考生复习顺利!最后，沪江考研祝全体考生取得好成绩。

       2022考研数学线代冲刺注意历年考点

       考研数学冲刺阶段，把真题吃透，通过对历年真题题型、机构、安排，可以熟悉各位出题老师的出题意向、重点，融汇贯通对于后期大幅提高复习效果明显。下面为同学们总结了历年真题中线性代数各章节易考点，可以帮助大家在复习中查漏补缺。

       第一章行列式，这一块唯一的重点是行列式的计算，主要有数值型和抽象型两类行列式的计算，06、08、10、12年的真题中均有抽象行列式的计算问题，而且均是以填空题的形式出现的，个别的还出现在了大题的第一问中。

       第二章矩阵，重点在矩阵的秩、逆、伴随、初等变换以及初等矩阵、分块矩阵。这一章概念和运算较多，考点也较多，而且考点以填空和选择为主，当然也会结合其他章节的知识考大题。06、09、11、12年均考了一个小题是有关初等变换与矩阵乘法之间的关系，10年考了一个小题关于矩阵的秩，08年考了一道抽象矩阵求逆的问题。

       第三章向量，可以分为三个重点，第一个是向量组的线性表示，第二个是向量组的线性相关性，第三个是向量组的秩及极大线性无关组。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题。

       第四章线性方程组，有三个重点。第一个是线性方程组解的判定问题，第二个是解的性质问题，第三个是解的结构问题。06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。

       第五章矩阵的特征值与特征向量，也是分三个重点。第一个是特征值与特征向量的定义、性质以及求法。第二个为矩阵的相似对角化问题，第三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考，12年、11年、10年09年都考了。

       第六章二次型有两个重点。第一个是化二次型为标准形，同学们必须掌握两种方法，第一个是配方法，第二个是正交变换法。第二个重点是正定二次型的判定。11年考的一个小题，用通过正交变换法将二次型化为标准形，12年、11年、10年均以大题的形式出现，但主要用的是正交变换化二次型为标准形。

第三篇：2022年考研数学复习重点与典型题型

       2022年考研数学复习重点与典型题型

       来源：跨考教育发布时间：2022-11-15 16:28:26

       近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学的重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心的重要问题，要特别注意以下三个方面。第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握(也即三基的重要性务必引起重视)。数学是一门逻辑学科，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。

       第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与他曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。第三，重视历年试题的强化训练。统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。

       下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型。

       一、函数、极限与连续

       求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

       二、一元函数微分学

       求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足....。.”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

       三、一元函数积分学

       计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题。(注;高数中解答题的最后一步往往是求解一个积分，故积分的各种求解方法务必熟练再熟练!)

       四、向量代数和空间解析几何

       计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;建立旋转面的方程;与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。此题型考研中占的分值较少，且若考的话直接考查概念。

       五、多元函数的微分学

       判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续;求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;求二元、三元函数的方向导数和梯度;求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。

       六、多元函数的积分学

       二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线积分、曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。每年会有一道解答题出现!

       七、无穷级数

       判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;求幂级数的收敛半径，收敛域;求幂级数的和函数或求数项级数的和;将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);综合证明题。

       八、微分方程

       求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;求解可降阶方程;求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

       总之，对考生来说，要想在数学考试中取得好成绩，必须认真系统地按照各类考试大纲的要求全面复习，掌握数学的基本概念、基本方法和基本定理。平时注意抓题型的解决方法和技巧，不断总结。最后按规定时间做几份模拟题，了解一下究竟掌握到什么程度，同时知道薄弱环节，抓紧时间补上。如果考生能够通过做题，将遇到的各种题进行延伸或变式，做到融会贯通，一定会取得好的成绩。数学的学习要做到一步一个脚印，步步为营才能取得理想中的成绩，未来是属于我们的也是属于你们的，但归根结底还是属于你们的!

       考研数学教材三大重视原则

       基础功夫要做牢：数学教材的三大“重视”原则

       基础阶段的学习，我们的目标是通过对教材的复习理解大纲中要求的三基本--基本概念、基本理论、基本方法。考研试卷中大部分试题是以考察基本概念，基本的公式，基本的理论为主。在这个阶段，大家在看教材应遵循下面的三大主要原则。

       重视结合大纲复习

       大纲不仅是命题人要遵循的法律也是我们复习的依据。现在大家用08年的大纲也完全可以。数学的试题不同于政治的试题，数学试题具有连续性和稳定性。细心的同学可能注意到了，对不同知识点大纲有不同的要求，有要求理解的，有要求了解的，有要求掌握的，也有要求会求会计算的。那么我们应该怎么来对待呢？在基础阶段复习中，大家不要在意这几个字的区别，从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的内容，都有可能考到，甚至某些不太重要的内容，也可以以大题的形式在试题中出现。由此可见，以押题、猜题的复习方法来对付考研靠不住的，很容易在考场上痛失分数而败北，应当参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。

       当然，全面复习不简单的就是生记硬背所有的知识，相反，是要抓住问题的实质和各内容、各方法的本质联系，把要记的东西缩小到最小程度，要努力使自已理解所学知识，多抓住问题的联系，少记一些死知识，而且记住了就要牢靠，事实证明，有些记忆是终生不忘的，而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上，运用它们的联系而得到。这就是全面复习的含义我们都需要把它掌握了。而在以后提高阶段中，我们就需要有针对性的复习，在考试大纲的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌握，会(能)两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。“猜题”的人，往往要在这方面下功夫。一般说来，也确能猜出几分来。但遇到综合题，这些题在主要内容中包含着次要内容。这时，“猜题”便行不通了。我们讲的这时要突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容提挈整个内容。主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解。即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容要求理解，掌握的考的频率高，常常是以大题的形式出现，大家需要重点来复习，把它吃透；要求了解，会求，会计算的知识点考得频率低一点，所以要求也稍微弱一点，大家花在上面的时间可以相对少一点。这样复习的时候才能做到有的放矢。

       重视做题质量

       基础阶段的学习过程中,教材上的题目肯定是要做的，那是不是教材上的所有题目都需要做呢？具统计，《高等数学》的教材上题目共1900多道，《线性代数》教材上共400多道题目，《概率论与数理统计》教材上共230多道。学习数学，要把基本功练熟练透，但我们不主张“题海”战术，其实上面我们已经清楚大约要做的题目数量，这阶段我们提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变。要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到不用书写，就象棋手 下“盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案，这样才叫训练有素，“熟能生巧”。基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒。相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，将其归结为粗心大意，确实，人会有粗心 的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会“粗心”地出错。

       重视复习效果

       看教材不是看小说，看完就算了。看的过程中一方面要提高数学的复习效率，不和别人比速度。要做到能用自己的语言叙述大纲中的概念和定理，切忌“一知半解”。不要一味做题而不注意及时归纳总结。及时总结可以实现“量变到质变”的飞跃。不要急于做以往的“考研试卷”，等到数学的三门课复习完毕并经过第二阶段的复习再做，这样的效果会更好些。既可了解考什么、怎么考，又可检验自己复习的情况。同学们还要不骄不躁，持之以恒。另外，我们一定要对自己看过的东西进行检验，看完一章后要看下自己是否可以继续下一章节的学习。那如何来检验呢？我们的方法是：做和考研比较接近的测试题。一般来说书后习题是不能反映出大家对每一章的掌握情况的。因为我们的目标不是期末考试而是考研，课后题是不能说明问题的，大家应该通过做一些难度适中的题目才能解决这个问题。

       只要坚持并把握好以上三点重视原则，相信你的数学复习一定会顺利。最后，祝愿所有备考考生都能取得令自己满意的数学成绩。

       名师指导：2022年考研数学解题技巧

       2022年全国硕士研究生入学统一考试数学试卷题型及分值分布：选择题8个，每个4分，共32分;填空题6个，每个4分，共24分;解答题9个，共94分。满分150分。

       对于四选一的选择题，其中三个都是干扰项，一个是正确选项，答案只给出正确选项前面的字母，不给出推导过程，选对得满分，选错得0分，不倒扣分。选择题有多种解题方法，常用的方法有：首肯法、排除法、反例法、图示法、逆推法等。如果各种方法都不奏效，鼓励考生猜测选项。选择题属客观题，答案是唯一正确的，数学考试中的多选题也都以单选的形式出现，最终答案只有一个，评分是不偏不倚的。对于考生来说，会做的题目靠扎实的知识得分，不会做的只能靠自身的运气。选择题的难度一般适中，以2022年试卷为例，其中的选择题都是中等难度，没有特别难的题目，也没有一眼就能看出答案的题目。选择题主要考查考生对数学概念、数学性质的理解，要求考生能进行简单的推理、判定、计算和比较。这一部分的32分需要考生在读书的时候深入思考，并要不完全依赖臆想，而要思考与动手相结合才能稳拿。

       填空题的答案是确定和唯一的，只填出最终结果，不需给出推导计算过程，答对得满分，答错得0分。这部分题目一般需要进行有一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目

       难度与选择题不相上下，即难度适中。方法只有一个：认真审题，高效率计算。填空题总共只有6个，高等数学(4个)、线性代数(1个)、概率论与数理统计(1个)各有分布，主要考查的是数学基本概念、基本原理、基本方法及数学的重要性质。这一部分24分的获取需要基础复习阶段就融会贯通的知识作保障。

       解答题占总分的百分之六十多，其中有计算题、证明题及其他解答题，一般都会有多种解题方法和证明思路，有些甚至有初等解法，但考试解答时尽量用与《考试大纲》规定的考试内容和考试目标相一致的解法和证明方法，步骤表述清楚，避免因表达不清而失分。每题的分值与完成该题所花费的时间以及考核目标的有关，综合性较强的试题，推理过程较多的试题和应用性的试题分值较高。基本计算题、常规性试题和简单应用题的分值较低。解答题属主观题，其答案有时并不唯一，这就要求考生不仅要能处理一个题目，更要能看到出题人的考核意图，选择合适的方法解答。

       计算题的正确解答要靠平时对各种计算方法，以及对综合题如何选择有效的解题方法的熟练掌握。如二元函数求最值的方法和步骤，曲线积分、曲面积分的计算方法及其与重积分的关系，以及格林公式、高斯公式等，重积分的计算方法及一些特殊结论(如积分区域对称，被积对象具有一定的奇偶性时的情形)等都需要非常熟悉。证明题是大多数考生感到无从下手的题目，所以一些简单的证明题在考试中也会得分率极低。证明题考查最多的是中值定理(微分中值定理及积分中值定理)，其次从题型来说就是不等式的证明，方法却比较庞杂，但仍然是有章可寻的。考生如果在平时就没有留太多的精力在证明题上，那么在考前的这两个月可以给出一点时间琢磨一下推理的问题，只要腾出一点脑力思考一下，这个东西并不难。解答题除考查基本运算外，还考查考生的逻辑推理能力和综合运用能力，需要考生在强化阶段加强提高这方面的能力。

       考研复习新大纲刚刚出台，考生应仔细阅读《大纲导读》一类的辅导书，以求更准确的瞄准目标进行重点复习备考!

       高等数学（微积分）推荐绿皮儿的同济大学第五版（或之后更新的）《高等数学》，里面有大量对定理的证明过程；线性代数当然是清华的黄蓝相间的教材《线性代数》最权威，但千万别通读；而概率论首选浙江大学出版的《概率论与数理统计》，比较通俗易懂。教材一定要吃透，把基础打牢，每一个公式、定理、每一道例题都要信手拈来，不能有丝毫差错。建议教材至少要过三遍，第一遍认真学习每一个知识点，做每一道习题，注意做题前不要看参考答案，做到独立思考。第二遍总结各知识点，做到所有的知识点都能够记在心里面，张嘴就能从头到尾说出来，甚至于达到能说出来在哪里能出什么题。第三遍查找自己的知识死角，弱点，难点，重点。三遍之后，可以开始大量的做题，包括市面上或者辅导班发的类似100题、200题的这种，而且每个题集最好做两遍，第二遍主要是针对那些在第一遍中做错的题，通过不断地纠错来提高自己的数学水平。考研数学主要是考查对基础知识的掌握，里面并没有特别难的题，只要我们对所有的知识点都有深刻的了解，再通过大量的做题来掌握做题技巧，那考试的时候就会感觉所有的考题平时都见过，做起来当然就得心应手了。

       说到做题，数学最忌讳眼高手低。一定要动手做，不过也不能纯粹求量搞题海战术，而是要更重视质的提高，同时数学是一门讲究手感的东西，中断它的复习，要花更多的时间找回手感，得不偿失。所以从你决定考研开始到考研前一天，都不能停止数学的复习。

       经过前面试间的复习，到大四开学的时候，建议开始做套题，而且最好是每天的上午，而时间也是按照考试的3小时来控制。首推的当然是《历年考研试题》，基本上要做十年的吧。这十套真真正正的考研题要陪你度过余下的时光。作完第一遍十套真题，开始找权威的《模拟试题》，但是这是要有极好的心理承受能力，因为极有可能模拟试题是在考察你没有复习到的漏洞，这时要端正态度，不必过分担心自己的水平不够。事实是，把这些漏洞补上，你就是个考研数学的高手了。

       最后，还有一点要建议：考前买本背公式背概念的小册子，随时忘随时翻，尤其是概率论那一块儿的参数估计、假设检验、线性代数的概念性质，确实要既深刻理解又可以快速写出来。（海天教育）

       高等数学：同济五版

       线性代数：同济六版

       概率论与数理统计：浙大三版

       推荐资料：

       1、李永乐考研数学3--数学复习全书 习题全解(经济类)

       2、李永乐《经典400题》

       3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》

       考研数学规划：

       课本 复习指导书 习题集 模拟题 真题= KO

       复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。

       经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。

       李永乐的线性代数很不错 陈文灯的高等数学很不错

第四篇：2022年考研数学线性代数重点内容和典型题型分析

       2022年考研数学线性代数重点内容和典型题型分析

       2022年9月3日教育部考试中心发布了2022年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分;填空题6小题，每小题4分，共24分，解答题(包括证明题)9小题，共94分;均与2022年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲相同。对于考生来说，不会有任何复习范围的调整之忧，可以按照自己原来的计划进行下去，那么接下来如何复习就成为考生关注的焦点。为了帮助考生有效地进行考研复习，我们认识一下考研数学线性代数部分的重点内容和典型题型。

       线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的，下面就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对大家学习有帮助。

       行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》。

       矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》。

       向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》。

       往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》。

       特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》。

       由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》。

第五篇：考研线代公式总结

       1、行列式

       1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2.代数余子式的性质：

       ①、Aij和aij的大小无关；

       ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3.代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

       4.设n行列式D：

       n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)

       D； n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)2

       D；

       将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

       将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D； 5.行列式的重要公式：

       ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

       n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)

       2；

       ③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； n(n1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；

       ⑤、拉普拉斯展开式：

       AOACAB、CAOA

       (1)mnCBOBBOBC

       AB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

       n

       6.对于n阶行列式A，恒有：EAn(1)kSnkk，其中Sk为k阶主子式；k

       12、矩阵

       1.A是n阶可逆矩阵：

       A0（是非奇异矩阵）； r(A)n（是满秩矩阵）

       A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解； bRn，Axb总有唯一解； A与E等价；

       A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0； ATA是正定矩阵；

       A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

       2.对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立； 3.(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT

       (AB)*B*A*

       (AB)1B1A1

       4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

       5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

       A1若A

       

       A2

       

       ，则： 

       As

       Ⅰ、AA1A2As； A11

       Ⅱ、A1

       

       1

       1A2

       ； 

       As1

       O

       ；（主对角分块）B1

       A1AO

       ②、

       OBO

       OOA③、1

       BOA

       A1AC④、

       OBO

       11

       1

       B1

       ；（副对角分块）O

       A1CB1

       ；（拉普拉斯）B1

       O

       ；（拉普拉斯）B1

       A1AO

       ⑤、11

       CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

       1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：Fr

       O

       对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2.行最简形矩阵：

       ①、只能通过初等行变换获得；

       ②、每行首个非0元素必须为1；

       ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

       3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

       ①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

       ②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

       ③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b； 4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

       ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

       1

       ②、

       

       r

       r

       E

       O

       ； Omn

       等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

       c

       2

       

       

       ，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

       ii

       

       n

       1

       111

       1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)E(i,j)，例如：1；

       11

       11

       1

       11

       ④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：k

       k1

       

       1

       1k

       

       (k0)； 1

       kk11

       

       ⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：11(k0)；

       11

       5.矩阵秩的基本性质：

       ①、0r(Amn)min(m,n)；

       ②、r(AT)r(A)；

       ③、若AB，则r(A)r(B)；

       ④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

       ⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、r(A)r(B)n

       ⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

       6.三种特殊矩阵的方幂：

       ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如1ac01b

       的矩阵：利用二项展开式；

       001

       二项展开式：(ab)n

       C0an

       C1an1b1

       Cmanm

       m

       nn

       n

       n

       bC

       n11n1n

       ab

       Cbn

       n

       mmnm

       n

       Cnab；m0

       注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

       Ⅱ、Cmn(n1)(nm1)n!

       n123m

       m!(nm)!

       C0nnCn1

       Ⅲ、组合的性质：Cm

       Cnmn

       n

       C

       m

       m1n

       rn1

       CC

       mnn

       C

       n

       2n

       rCrnCr1

       nn1

       ； r0

       ③、利用特征值和相似对角化： 7.伴随矩阵：

       r(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A*)

       n

       1

       r(A)n1； 

       0r(A)n1

       ②、伴随矩阵的特征值：A

       1

       (AXX,A*AAA*X

       A

       

       X)；

       ③、A*AA

       1、A*A

       n

       18.关于A矩阵秩的描述：

       ①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

       ②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

       9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

       ①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

       ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10.线性方程组Axb的求解：

       ①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

       ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

       4、向量组的线性相关性

       1.m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)； 1TTTT

       构成mn矩阵B2； ,,mm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2

       Tm

       含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

       2.①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

       ②、向量的线性表出（线性方程组）Axb是否有解；③、向量组的相互线性表示（矩阵方程）AXB是否有解；

       3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)4.5.r(ATA)r(A)；(P101例15)

       n维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关0；

       ②、,线性相关 ,坐标成比例或共线（平行）；

       ③、,,线性相关 ,,共面；

       6.线性相关与无关的两套定理：

       若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

       若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

       若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

       7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

       向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示

       AXB有解；

       r(A)r(A,B)（P85定理2）

       向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

       ②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9.对于矩阵Amn与Bln：

       ①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

       ②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10.若AmsBsnCmn，则：

       cr

       8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；

       ①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

       11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

       ①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

       ②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

       12.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87）

       ②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn

       r(A)n、P的行向量线性无关；

       5、相似矩阵和二次型

       1.正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

       ①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTiaij

       j

       1

       0

       ij

       (i,j1,2,n)； ②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,,ar)

       b1a1；

       b2a2

       [b1,a2]

       [bb1 1,b1]

       

       b[b1,ar]rar

       [bb[b2,ar]b[b1,ar]

       12rbr1;1,b1][b2,b2][br1,br1]

       3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

       对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4.①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

       PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型；

       ②、A与B合同 CTACB，其中可逆；

       xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 P1APB； 5.相似一定合同、合同未必相似；

       若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；