判断函数的奇偶性并给予证明（推荐）

第一篇：判断函数的奇偶性并给予证明（推荐）

       高等数学复习题

       一、用数列极限的ε-N定义证明： lim2n12。

       n3n431，

       二、证明符号函数sgnx0,1,

       三、求下列极限：

       x0x0

       当x0时，没有极限。x02(1)lim(nnn)

       (2)lim(nn11112)

       315354n1n22n(3)limnn2112xxlim(4)(13x)x0nxarcsinxln(sin2xex)xlim(5)lim

       (6)

       x0ln(x2e2x)2xx0cosx12x2sinx1cos(sinx)(7)lim(8)lim

       x0x0ln(1x2)x3(9)limx0e1ee

       2(10)lim

       x33xsinxxx1xxarctanxex2x(11)lim

       (12)limx

       xxe3x2x1x(13)limx0sin2x(14)lim(tanx)xtan2x

       4(cosx1)dx(15)lim(16)(e1)dx0u0ux20u(x,y)(0,0)lim(x2y2)x2y2

       x2y2(17)limlim2

       (18)lim(1xy)x 2(x,y)(0,2)y0x0xy

       四、找出函数f(x)的间断点，并说明其类型。若是可去间断点，则补充定 义函数值后使它连续：

       11x1121(1)f(x)12x1sinx3x2x0,x1x0x

       2(2)f(x)2 x(x1)cose2x1

       五、设f(x)ksin2xx0 在点x = 0处连续，求k。

       x0

       1六、（1）当x0时，求无穷小量tanxsinx关于x的阶

       （2）当x0时，ln(1xk)与x3x为等价无穷小量，求k的值。

       七、求导数或微分：(1)yxsin1x

       (2)yln(sin2xxcosx)

       (3)ysin(12x)(4)y(1(5)求y(x21)arctanx的二阶导数(6)设f(x)21x)2xx(n)，求f(x)21x(7)yxlnx，求dy(8)函数ze的全微分dz(9)求函数yfxyx1的导数

       dy dxxlncost(10)求参变量函数ysinttcosttxe(1cost)(11)给定参数方程:tye(1sint)d2ydy的，2dxdxt(,),求

       dy。dx33(12)求由方程xy3xy1所确定的隐函数y(x)在x0处的微分.22(13)设yy(x)是由函数方程 ln(xy)xy1 在(0,1)处所确定的隐函数，求dy及dy(0,1).22(14)求函数yf[(x)(x)]（f,,均可导）的导数

       dy dx23(15)求由方程2ln(xy)xysinx所确定的隐函数y(x)在x0处的微分.(16)求函数ux2y2z2在点(1,2,3)处的偏导数、全微分、梯度和沿方向l ={3，1，-2}的方向导数。

       ex1,x00x1，求a、b使得f(x)在x = 0和x = 1

       八、设f(x)xa,bsin(x1)1,1x处可导。

       九、导数应用

       (1)求函数y4exex,x[1,1]的最大值和最小值。(2)求函数f(x,y)x3y33xy的极值。

       22(3)求函数f(x)(x3)3(x2)的单调区间和极值。

       (4)设函数f(x)x2cosx，讨论函数在区间(0,)内的单调性与极值.x212，讨论其单调性，极值，凹凸区间，拐点和渐近线。(5)已知函数y3x(6)求曲线yln(1x2)凸性区间与拐点: 1(7)求曲线yxex 的渐近线。

       十、求积分(1)2sec2x(12xtanx)dx

       (2)

       x31x2dx

       (3)(5)dx2xe

       (4)sin3xdx exe2xdxdx

       (6)1sin2x(x1)x22x2

       2ln(xx1)dx

       (8)(7)

       11sin(x2x2)dx

       (9)若f(x)有连续的二阶导数，求xf"(x)dx。

       222(10)82xdx

       (11)

       1xsin1x21x20dx(12)21(3x2)dx

       (13)x1ln4ln2dxe1x

       21x2,x0(14)设f(x)x2，求f(x1)dx.0xe,x0(15)将10dy2yy2yf(x,y)dx化为极坐标下的累次积分.(16)计算二重积分

       2yx, 其中D是由直线及所围成的平面区域。yx(x2)dD

       十一、判断下列广义积分敛散性，若收敛，则求其值：(1)0cosxedx

       (2)x10x23x2dx

       3(3)ln(2x)0xdx

       (4)11lnxdx x2

       十二、设(x)为可微函数，又 F(x)(x)ex cos5udu，求F(x)．

       十三、判别下列级数是否收敛；如果收敛，试确定是条件收敛，还是绝对收敛(1)1n1n12nn!

       (2)nn(1)nn1n!nn(3)n(1)n11n(n1)

       十四、设x11,x12,xk2xk1xk，3,，求级数 k12xn11235的前项的和Sn以及级数和。12132538xnxn2112n1

       十五、求幂级数的和函数和收敛域，并计算。x2n12n1(2n1)2n0n0

       十六、试判断利用 1x131x221x，计算3的近似值时，391.05误差是否小于0.0001？

第二篇：函数奇偶性教案

       §1.3.2函数的奇偶性

       教学目标

       1．知识与技能：

       理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；

       2．过程与方法：

       通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

       3．情态与价值：

       通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．

       教学重点和难点

       教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法

       教学过程：

       一：引入课题

       观察并思考函数

       以及y=|x|的图像有哪些共同特征？这些特征在函数值对应表是如何体现的？（学生自主讨论）根据学生讨论的结果推出偶函数的定义。

       偶函数

       一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

       （学生活动）

       依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

       奇函数

       一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

       注意：

       1．具有奇偶性的函数的图像的特征：

       偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

       2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 二：例题讲解

       例1．判断下列函数是不是具有奇偶性．（1）f(x)2x3x[1,2]

       2（2）f(x)xxx1

       例2．判断下列函数的奇偶性

       （1）f(x)x4

       （2）f(x)x5

       （3）f(x)x总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数；

       若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

       三：课堂练习

       课本P36习题1

       利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）

       规律：偶函数的图象关于y轴对称；

       奇函数的图象关于原点对称．

       1x

       （4）f(x)1x2

       四：归纳小结，强化思想

       本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

       五：作业布置

       1．作业：判断下列函数的奇偶性： f(x)○2x2xx122f(x)；

       ○

       x(1x)x0,x(1x)x0.f(x)x32x ；

       ○4 f(x)a

       （xR）○

       思考题：若函数f(x)＝(x 1)(x-a)为偶函数，求a的值.

第三篇：函数奇偶性课件

       函数的奇偶性是指在关于原点的对称点的函数值相等。函数奇偶性课件内容，一起来看看！

       课标分析

       函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析．

       教材分析

       教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．

       教学目标通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力．

       教学重难点

       1理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．

       学生分析

       这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．

       教学过程

       一、探究导入观察如下两图，思考并讨论以下问题：

       （1）这两个函数图像有什么共同特征？

       （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？

       可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．

       对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此时，称函数y＝x2为偶函数．

       2观察函数f（x）＝x和f（x）＝ 的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．

       可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．

       二、师生互动

       由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义奇、偶函数的定义

       如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数．

       如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫作偶函数．提出问题，组织学生讨论

       （1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？

       （f（x）不一定是偶函数）

       （2）奇、偶函数的图像有什么特征？

       （奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）

       （3）奇、偶函数的定义域有什么特征？

       （奇、偶函数的定义域关于原点对称）

       三、难点突破

       例题讲解判断下列函数的奇偶性．

       注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1〕．已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表达式．

       解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．

       （2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．

       解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明如下：

       任取x1＞x2＞0，则－x1＜－x2＜0．

       ∵f（x）在（－∞，0）上是减函数，∴f（－x1）＞f（－x2）．

       又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．

       ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

       思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？

       巩固创新已知：函数f（x）是奇函数，在〔a，b〕上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在〔－b，－a〕上的单调性如何．f（x）＝－x｜x｜的大致图像可能是（）函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．

       四、课后拓展有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：

       （1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．

       （2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．

       3已知a∈R，f（x）＝a－，试确定a的值，使f（x）是奇函数．一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？

       教学后记

       这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，符合职高学生的认知规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台。

第四篇：函数奇偶性教案

       函数的奇偶性

       廖登玲

       一、教学目标：

       1、知识与技能 ：

       理解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；

       2、过程与方法：

       通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶

       性概念解决简单的问题，领会数形结合的数学思想方法；培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．

       二、教学重难点：

       教学重点：函数奇偶性概念及其判断方法。

       教学难点：对函数奇偶性的概念的理解及如何判定函数奇偶性。

       三、教学方法：

       通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．在鼓励学生主体参与的同时，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面过程

       四、教学过程：

       1、创设情境，引入课题：

       让学生自己列举出生活中对称的实例，师：我们知道，“对称”是大自然的一种美，在我们的生活中，有许多的对称美：如美丽的蝴蝶、古建筑等等。这种对称美在数学中也有大量的反应，这节课我们就来一起发现数学中的对称美。

       2、观察归纳，形成概念：

       （1）请同学们利用描点法做出函数f(x)=x/3 与函数g(x)=x^3 的图像，观察这两个函数图像具有怎样的对称性并思考和讨论以下的问题？

       ①这两个函数的图像有什么共同的特征？②从图像看函数的定义域有什么特点？ 生：函数y=x/3的图像是定义域为R的直线，函数y=x^3的图像是定义域为R的曲线，它们都关于原点对称，且当x属于函数定义域时，它的相反数-x也在定义域内。

       （2）让学生注意到x=-

       3、-

       2、-1、0、1、2、3 时两个函数的函数值，可以发现两个函数的对称性反应到函数上具有的特性:关于原点对称，进而提出在定义域内是否对所有的x，都有类似的情况？借助课件演示，让学生通过运算发现函数的对称性实质：当自变量互为相反数时，函数值互为相反数。然后通过解析式给出简单证明：f(-x)=(-x)/3=-(x/3)=-f(x);g(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-g(x)，进一步说明这个特性对定义域内的任意一个x都成立。

       (3)师：具有此种特征的函数还有很多，我们能不能用数学语言对这类函数的特征进行描述？

       （板书）：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=-f(-x)，那么函数叫做奇函数。

       3、设疑答问，深化概念

       教师设计下列问题并组织学生讨论思考回答：

       问题1：奇函数定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？

       答：在奇函数的定义中“如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x”这句话它表示函数奇偶性针对的是函数的整个定义域，它表示函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性

       质，它不同于单调性，单调性它针对的是定义域中的某个区间，是一个局部性质。问题2：-x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？

       答：二者在几何上关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件。

       问题3：（1）对于任意一个奇函数f(x)，图像上的点f(x)关于原点的对称点f(-x)的坐标是什么？点(-x,-f(x))是否也在函数f(x)的图像上？由此可得到怎样的结论？（2）如果一个函数是奇函数，定义域中的x可以等于0.那么f(0)的值等于多少？

       引导学生通过回答问题3把奇函数图像的性质总结出来，即：①函数f(x)是奇函数,则其图像关于原点对称，②对于奇函数f(x)，若f(0)有定义，则f(0)=0.然后教师利用多媒体演示两幅关于y轴对称的函数图像，让学生仿照奇函数，观察图像，给出偶函数的定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)，那么函数叫做偶函数。并让学生自己研究一下偶函数图像的性质，即函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称。

       4、知识应用，巩固提高 例

       1、判断下列函数的奇偶性:

       （1）f(x)=1/x（奇函数）

       (2)f(x)=-(x^2) 1(偶函数)

       （3）f(x)=x 1（非奇非偶）

       (4)f(x)=0（既奇又偶）

       选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤:对于函数f(x)=1/x，其定义域为(-∞， ∞）.因为对定义域内的每一个x，有-x∈(-∞， ∞），且f(-x)=-1/x=-f(x),(f(x) f(-x)=0), 所以，函数为奇函数。

       其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。（1）通过例1总结判断函数奇偶性的步骤：

       ①求出函数的定义域I,并判断若x∈I,是否有-x∈I

       ②验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)（f(x)-f(-x)=0 或f(x) f(-x)=0）③得出结论

       （2）通过讲解板演同学的解题，得出函数奇偶性的相关性质：

       ① 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数，是偶函数但不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。

       ②存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)=0

       五、总结反思：

       从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结，让学生谈本节课的收获，并进行反思。从而关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获。

       六、任务后延，兴趣研究：

       1、思考：如果改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？如：y = x3(x≠0)，y = x3(x≠1)，y = x3(x≥0)，y=x3(－1≤x≤1)，试判断它们是奇函数吗？

       2、课后作业（略）

第五篇：函数奇偶性教案

       函数的奇偶性

       授课教师——李振明

       授课班级——高一（8）

       教学目的：

       1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；

       2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断

       一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

       题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

       考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？

       二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任

       意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

       三、例：判断下列函数的奇偶性

       ① f(x)=x5 x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x 1 定理:

       1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。

       ２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

       如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

       四、巩固练习

       （1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。

       如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。

       （2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。

       （3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B）

       （5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

       A．奇函数

       B．偶函数

       C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

       四、小结

       1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。

       ①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

       2、性质:奇函数的图象关于原点对称。

       偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。

       如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。

       五、课后思考题

       已知函数f(x)=(m2-1)x2 (m-1)x n 2，则当m、n为何值时，为奇函数

       f(x)