积分不等式的证明及应用

第一篇：积分不等式的证明及应用

       衡阳师范学院

       毕业论文（设计）

       题 目：积分不等式的证明及应用

       所 在 系： 数学与计算科学系

       专 业： 数学与应用数学

       学 号： 08090233 姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

       2022年 4 月 27 日

       积分不等式的证明及应用

       数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

       摘要

       本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数

       0.引言

       积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法

       1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

       积分第一中值定理(定理1)若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b，使得fxdxfba.ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

       10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数.分析 由于目标式中一个式子为

       i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

       01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有

       10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n.,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

       因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

       1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

       i1n.i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

       拉格朗日中值定理(定理2)若函数f满足如下条件:

       if在a,b上连续；iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

       ffbfaba.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

       fxdxabba24M,MMaxfx.xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x.,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.ababfxMxa,xa，fxMbx,x,b22，故

       fxdxabab2afxdxbab2fxdx

       ab2afxdxbab2fxdx

       ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M.注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式

       作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

       得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

       xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

       f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

       fxftdt0，0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0，1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx.例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x，x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

       1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式

       在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

       aabb夫不等式.分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

       abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy，aapxgxdxpygydy.aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

       abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

       pxpyfxgxgydxdyD 1

       其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

       pypxfygygxdxdyD 2

       将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知，D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号，于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0.即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

       ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

       10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

       Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

       D2xf3yyxdxdy 3

       其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

       Df2yf3xxydxdy 4

       22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

       xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式

       引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6 利用对称性证明积分不等式

       命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

       fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

       积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx.aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

       fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

       ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

       ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是，bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a.2.一些特殊积分不等式的应用

       2.1 Chebyshew不等式及其应用

       Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

       bafxdxgxdxbafxgxdx.aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

       Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx.1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

       Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

       Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx.不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

       b平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

       a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

       22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

       bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

       bafxsin2kxdx 7

       67即得5式.此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

       fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式

       ba1ba1fxdxbafxdx 8

       ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向.定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

       m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

       pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向.例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

       1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx.证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

       banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx.证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立.2.4 Young不等式的应用

       Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab.不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立.证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有，a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb.2.5 Steffensen不等式

       Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

       xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx.证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

       在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx.结论

       总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献

       [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2022:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2022,6(4):34-35.[3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2022.[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2022,(5):102.[6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2022,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2022,(4):108.[8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2022:108-109.[9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2022,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequality Department of Mathematics and Computational Science

       Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

       Name:ShengJunyu

       Instructor:XiaoJuan

       Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality;theorem of mean;function

第二篇：积分不等式的证明方法

       南通大学毕业论文

       摘要

       在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

       关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

       南通大学毕业论文

       ABSTRACT

       When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．

       Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem，Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

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       1.引

       言

       不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．

       实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．

       本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．

       在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．

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       2.几个重要的积分不等式

       在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．

       2.1 Cauchy-Schwarz不等式

       无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间,F,P中的以及n维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．

       定理2.1[1] 设f(x), g(x)在[a,b]上连续,则有

       [f(x)g(x)dx]2{[f(x)]2dx} {[g(x)]2dx}．

       aaabbb证明：要证明原不等式成立,我们只需要证

       

       设Ftt2abaf2xdxat2bbgxdxfxgxdx0成立． a 222tfxdxgxdxfxgxdx,则只要证FbFa成立，aa由Ft在[a,b]上连续,在a,b内可导,得

       Ftf2tg2xdxg2tf2xdx2ftgtfxgxdxaaa2222ftgx2ftgtfxgxgtfxdx atttt

       ftgxgtfxdx0．

       (2.1)a由(2.1)式可知Ft在[a,b]上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立．

       证毕

       实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式 t2 4 南通大学毕业论文

       fxfxdxgxfxdx0，aabbbafxgxdxgxgxdxab由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出

       CauchySchwarz不等式的推广形式．

       定理2.2[2] 设fx,gx,hx在a,b上可积,则

       hxfxdxfxgxdxgxgxdxhxgxdx0． fxhxdxgxhxdxhxhxdxaaabbbaaabbbaaabfxfxdxbgxfxdxb 证明：对任意的实数t1,t2,t3,有

       bat1fxt2gxt3hxdx

       bbbaaa2t12f2xdxt22g2xdxt32h2xdxbbaa

       ba2t1t2fxgxdx2t1t3fxhxdx2t2t3gxhxdx0． 注意到关于t1,t2,t3的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为

       babbaf2xdxbagxfxdxabhxb2fxdx

       xfxhfaxgxdxdxbab2agxdxbaxhag0x．d x证毕 xdxgxhxdxh以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．

       除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究．

       2.2 Young不等式

       Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分

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       析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明．

       定理2.3[3] 设f(x)在[0,c]（c0）上连续且严格递增,若f(0)0,a[0,c]且b[0,f(c)],则0f(x)dx0f1(x)dxab,其中f1是f的反函数,当且仅当bf(a)时等号成立．

       证明：引辅助函数g(a)abf(x)dx，(2.2)

       0aab把b0看作参变量,由于g(a)bf(a),且f严格递增,于是

       当 0af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0． 因此 当af1(b)时,g(a)取到g的最大值,即

       gamaxgxgf1b

       (2.3)

       由分部积分得

       f1(b)f1(b)0g(f(b))bf(b)作代换yf(x),上面积分变为

       11f(x)dx0xdf(x)，g(f1(b))f1(y)dy，(2.4)

       0b将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

       abf(x)dxf(y)dyf1(x)dx，000ab1b即f(x)dxf1(x)dxab． 证毕

       00ab 6 南通大学毕业论文

       3.定积分不等式常见的证明方法

       关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．

       3.1 利用函数的凹凸性

       在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．

       定理3.1 若t定义在间隔m,M内,且t0,则t必为下凸函数．

       定理3.2 设fx在[a,b]上为可积分函数,而mf(x)M．又设t在间隔mtM内为连续的下凸函数,则有不等式

       1b1bfxdxfxdx． aabababb例3.1[4] 设fx在a,b上连续,且fx0,求证：fxdxaa12dxba． fx证明: 取u112, 因为u20,u30,u0 uuu即在u0时,yu为凸函数,故有

       1b1bfxdxfxdx，aabababa即fxdxabba1dxbbfx12dxba．

       证毕，故fxdxaafxba在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．

       3.2 辅助函数法

       辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明

       南通大学毕业论文 的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．

       例3.2.1[5] 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减,证明：对a(0,1)时, 有： fxdxaf(x)dx．

       00a11x证明：令Fxf(t)dt 0x1,由fx连续,得Fx可导

       x0则Fxfxxftdt0xx2 fxxfxfxf ,(0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf, 从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意a(0,1),有F(a)F(1)． 即

       a111af(x)dxafxdx． 证毕 a,两边同乘即得f(x)dxfxdx,0000a本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间(0,1)上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减非负,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有: fxdx0aabf(x)dx． ab证明：令FxFx1xf(t)dt,0x1,由fx连续,得Fx可导, 则 x0x0fxxftdtx2 fxxfxfxf ,(0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf,从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意0ab1,有F(a)F(b),即

       1a1b ftdtftdt．

       (3.1)

       a0b0由f非负,可得fxdxfxdx．

       (3.2)0abb结合(3.1)式和(3.2)式可得 即a1a1bfxdxfxdx． a0ba0abfxdxfxdx．

       证毕

       babbaa例3.2.3[6] 函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0 试证：f(x)dx 8

       1dx(ba)2． f(x)南通大学毕业论文

       在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．

       证明: 构造辅助函数xftdtaxxadt2xa, 则 ft xfxxaxdt1ftdt2xaftafx

       xaxftxfxdtdt2dt

       afxaftxfxft2dt0, aftfx

       所以x是单调递增的,即ba0,故fxdxabba12dxba． 证毕 fxabbxfxdxfxdx．

       2a例3.2.4 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：[7]

       ba证明: 原不等式即为xfxdx则Fttft1t2a1taftf , a,t．

       2abbfxdx0,构造辅助函数 aa2tattFtxfxdxfxdx ,ta,b，a2atat1fxdxfttaftfxdxa 2 2b因为at,fx单调增加,所以Ft0．故Ft在a,b上单调递增,且Fa0, 所以对x(a,b],有FxFa0．当xb时,Fb0．即

       baxfxdxabbfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过以上几道题目的观察我们可以发现：

       1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．

       2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．

       3.3 利用重要积分不等式

       在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．

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       例3.3.1[8] 函数fx在0,1上一阶可导,f1f00, 试证明：10112fxdxfxdx．

       402证明：由fxftdtf0和fxftdtf10x1x

       可得

       f2xx0ftdt2xx1112dtf2tdtxf2xdx,(x0,), 0002111112dtf2tdt(1x)f2xdx,(x,1)． xx02 f2xxftdt12因此 f2xdx 120222fxdx，(3.3)0811

       2(3.4)fxdx．8010

       112f2xdx将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到f2xdx[2]

       112fxdx．

       证毕 40b例3.3.2 设fx,gx在a,b上可积且满足：0mfxM,gxdx0，a则以下两个积分不等式

       bafxgxdx2b2f2xdxg2xdxm2bag2xdx及

       aaabbb bafxgxdx2MmMmbaaf2xdxg2xdx成立．

       ab证明：取hx1,由gxdx0及定理2.2知

       babaf2xdxfxgxdxfxdxbagxfxdxfxdx0 gxdxaab2abb0bab bafab2xdxagxdxafxdxagxdxbaafxgxdx22bb2b0．

       2因此

        bafxgxdx2baf2xdxab1gxdxba2bafxdxgxdx．

       (3.5)

       2b2a 10 南通大学毕业论文

       由mfx可知 bafxdx2b22m2ba，bb2因而bafxgxdxafxdxagxdxmbaag2xdx．

       22MmMm由于0mfxM,因此fx．

       22化简得f2xMmMmfx, 两边同时积分得 f2xdxMmbaMmfxdx, aabb22由算数-几何平均值不等式可知

       于是2baf2xdxMmbaf2xdxMmba，abbaabf2xdxbafxdx2Mm4Mm2．

       1则ba bafxdxgxdxba2b2abfxdxba2af2xdxbaf2xdxag2xdx

       b2Mma4Mmb

       (3.6)f2xdxg2xdx．

       ab由式(3.5)和式(3.6)可知

       bafxgxdx2MmMm2baf2xdxg2xdx．

       证毕

       ab以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz不等式颇为有用,但要注意选取适当的fx与gx,有时还需对积分进行适当的变形．

       3.4 利用积分中值定理

       积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．

       定理3.3（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可积且mf(x)M,则存在 11 南通大学毕业论文

       u[m,M]使f(x)dxu(ba)成立.特别地,当f(x)在[a,b]上连续,则存在c[a,b],使abbaf(x)dxf(c)(ba)成立．

       定理3.4（积分第一中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,fx连续,gx在a,b上不变号,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立

       fxgxdxfgxdx．

       aabb定理3.5（积分第二中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,且fx为单调函数,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立 fxgxdxfagxdxfbgxdx．

       aabb例3.4.1 设函数fx在区间0,1上连续单调递减,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有fxdx0aabf(x)dx,其中fx0． ab对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．

       证明：由积分中值定理知

       0afxdxf1a, 10,a； fxdxf2ba,2a,b；

       ab因为12,且fx递减,所以有f1f2, 1a1b1bfxdxfxdxfxdx, 0aaababaab故 fxdxfxdx． 证毕

       0ba即

       例3.4.2 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：baabbxfxdxfxdx．

       2a同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．

       证法一

       bababab2证明: xxfxdxxfxdxabfxdx． aa2222bab 12 南通大学毕业论文

       abab由定理3.4可知,分别存在1a，,b, 222使得 ab2aabab2xfxdxfx1adx, 22abbabab abxfxdxfx2abdx, 2222 babab因此xfxdxa28b2ff,由于fx在0,1单调增加的,且

       210121,所以有 f2f10．

       ab从而xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2b证法二

       证明:由定理3.5可知：存在a,b，bababab使得 xfaxdxfbxfxdxdx aa222b fafbab．

       由fx单调增加及a,b知fafb0,a0,b0．

       bab可得xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．

       3.5 利用积分的性质

       关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．

       例3.5.1[9] 设fx在0,1上导数连续,试证：x0,1，13 南通大学毕业论文

       有 fxfxfxdx． 0证明：由条件知fx在0,1上连续,则必有最小值, 1即存在x00,1,fx0fx, 由ftdtfxfx0fxfx0ftdt, x0x0xx fxfx0ftdtfx0x0xxx0ftdtfx0ftdt

       0101 fx0dt0110ftdtftdt01ftftftdtdt 0

       1fxfxdx.故原不等式成立, 证毕

       013.6 利用泰勒公式

       在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．

       定理3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor公式)设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n1阶连续导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得：

       f(x0)fn(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

       (1)

       2!n!f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1（在x与x0之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公(n1)!式．

       例3.6.1[10] 设fx在a,b上有二阶连续导数,fafb0,Mmaxfx，xa,b试证明:fxdxabba123M．

       证明：对xa,b,由泰勒公式得

       f

       fafxfbfxf1xax21xbx2faxa,x, , 2fbxx,b, , 2ab122, 两式相加得 fxfxxfaxfbx24 14 南通大学毕业论文

       两边积分得 fxdxabbaab1b22dx, fxxdxfaxfbxa24bbbabab其中 fxxdxxdfxfxdx, aaa22于是有 fxdx故 ba1b22dx, faxfbxaa8Mb22dxMba3． 证毕 fxdxaxbx8a12b例3.6.2[6] 设fx在a,b上有二阶导数,且fx0，ab求证 fxdxbaf． a2b证明：将fx在x0ab处作泰勒展开得到 22ab1abababab, fxffxfxx,．

       222222

       ababab因为fx0,所以可以得到 fxffx，222babababb对不等式两边同时积分得到 fxdxfbafxadx． a222bab因为xdx0, 所以有afxdxbaa2babf． 证毕

       2通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点xo,并写出fx在这个点xo处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．

       3.7 利用重积分

       在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．

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       3.7.1 直接增元法

       命题一[11]：若在区间[a,b]上f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx．

       aa

       bb例3.7.1[11] 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足：

       xaf(t)dtg(t)dt,x[a,b],af(t)dtag(t)dt,证明：axf(x)dxaxg(x)dx．

       axbbbb证明：由题得f(t)dtg(t)dt, aaxx从而可以得到dxf(t)dtdxg(t)dt,即dx[f(t)g(t)]dt0．

       aaaaaabxbxbx左式dx[f(t)g(t)]dt [f(t)g(t)]dxdt(其中D{(x,t)|axb,atx})aaDbx dt[f(t)g(t)]dx (bt)[f(t)g(t)]dt

       atabbb b[f(t)dtg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt]0．

       aaaaaabbbbaaaabbbbbb则 tf(t)dttg(t)dt0 , 即xf(x)dxxg(x)dx． 证毕

       在本题中我们将一元积分不等式f(x)dxg(x)dx的两边同时增加一个积分变量

       aaxxbadx，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.3.7.2 转换法

       在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分

       命题二[11] 若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积,则二元函数f(x)g(y)在平面区域D{(x,y)|axb,cyd}上可积,且

       Df(x)g(y)dxdyf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx．

       acacbdbd其中D{(x,y)|axb,cyd}

       例3.7.2[11] 设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,在[a,b]上,p(x)0,f(x),g(x)为单调递增函数,试证：

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       babap(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx．

       aaabbbaaabbb

       证明：由p(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx可知：

       babap(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx0，aaabbaabbb令Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx, ab下证I0；

       Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx

       aaaabbbb

       同理

       p(x)dxp(y)f(y)g(y)dyp(x)f(x)dxp(y)g(y)dy

       aaaabbbbbabbabp(x)p(y)f(y)g(y)dxdybabap(x)f(x)p(y)gydxdy

       aap(x)p(y)g(y)[f(y)f(x)]dxdy．

       (3.7)bbbIp(x)dxaabab(p)x(f)x(g)xdxab(p)x(f)xdx()pxgxdx

       a

       p(y)dybbap()xf()xg()xdxab(p)y(f)ydy(p)xgxdxab p(y)p(x)g(x)[f(x)f(y)]dxdy．

       (3.8)aa

       (3.7)(3.8)得

       2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy, 因为f(x),g(x)同为单调增函数,所以[g(y)g(x)][f(y)f(x)]0 又因为p(x)0,p(y)0,故 2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy0,即I0．

       证毕

       2.将常数转换为重积分的形式

       在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数f(x,y)k,则可得到kdk(ba)2,其中D{(x,y)|axb,ayb}．

       D例3.7.3函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0试证：f(x)dx

       abba1dx(ba)2． f(x)本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 f(x)dxabba1dyd, f(y)D 17 南通大学毕业论文

       移项可得(Df(x)1)d0, f(y)2(Df(x)f(x)f(y)1)d(1)d(1)d0, f(y)f(y)f(x)DDf(x)f(y)f(x)f(y)2)d0,因为f(x)0,f(y)0,所以20． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即为证(D故 (Dbbf(x)f(y)12)d0 恒成立,即f(x)dxdx(ba)2成立, 证毕

       aaf(x)f(y)f(x)通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．

       3.8 利用微分中值定理

       微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．

       例3.8.1[12] 设fa0,fx在区间a,b上的导数连续,证明：

       2baa1bfxdx1maxfx． x2a,b证明：应用Lagrange中值定理,a,x,其中axb,使得

       fxfafxa, 因为fa0, 所以fxMxa, Mmaxfx，xa,b从a到b积分得

       a bfxdxMbaM2bxadxMxadxx2

       aa2bM1122bamaxfxba．即222babafxdx1maxfx.证毕 x2a,b 18 南通大学毕业论文

       例3.8.2[13] 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00试证：

       fxdxf121003xdx．

       证明：令Fxx0ftdt,Gxf3tdt，02xFx,Gx在0,1上满足柯西中值定理,则

       fxdx10210f03xdxF1F0FG1G0G02fftdt0f32ftdt0f2 01

       2ftdtftdtf2f0202f11 , 01．

       2fff所以 10fxdx2f2xdx．

       证毕

       01通过以上两道题目可以发现：

       1.在应用Lagrange中值定理时先要找出符合条件的函数fx,并确定fx在使用该定理的区间a,b,对fx在区间a,b上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange中值定理．

       2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy中值定理的两个函数fx,gx,并确定它们应用柯西中值定理的区间a,b,然后在对fx,gx在区间a,b上运用Cauchy中值定理．

       无论是Cauchy中值定理还是Lagrange中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．

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       4．总

       结

       我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．

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       参考文献

       [1]王宇,代翠玲,江宜华．一个重要积分不等式的证明、推广及应用[J]．荆州师范学院学报(自然科学 版),2000,23(5)：106 [2] 张盈．Cauchy-Schwarz不等式的证明、推广及应用[J]．高师理科学刊,2022,34(3):34-37 [3] 黄群宾．积分不等式的证明[J]．川北教育学院学报,1996,6(4):22-27 [4] 李志飞．积分不等式的证明[J]．高等数学研究,2022,17(6)：50-51 [5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．数学分析选讲[M]．北京：国防工业出版社,2022 [6]张瑞,蒋珍．定积分不等式证明方法的研究[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2022,20(2)：18 [7]林忠．一个积分不等式的几种证明方法[J]．成都教育学院学报,2022,20(12)：66 [8]刘法贵．证明积分不等式的几种方法[J]．高等数学研究,2022,11(1):122 [9] 苏德矿,李铮,铁军．数学强化复习全书[M]．北京：中国证法大学出版社,2022 [10] 李小平,赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究,2022,12(6):13-17 [11] 黄云美．重积分在积分不等式证明中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报,2022,13(3):27-33 [12] 葛亚平．积分不等式证明的再认识[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2022,24(3):18-20 [13] 王丽颖,张芳,吴树良．积分不等式的证法[J]．白城师范学院学报,2022,21(3): 19-22

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第三篇：应用导数证明不等式

       应用导数证明不等式

       常泽武指导教师：任天胜

       （河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）

       摘要： 不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。

       关键字： 导数 不等式最值中值定理单调性泰勒公式

       中图分类号： O13

       Application derivative to testify inequality

       ChangZeWu teachers: RenTianSheng

       (HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

       1.利用微分中值定理来证明不等式

       在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：

       定理1.如果函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b上可导，则至少存在一点a,b，使得f'()

       拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。

       （1）首先，分析不等式通过变形，将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。

       （2）我们可根据其两种等价表述方式

       ①f(b)f(a)f'(a(ba))(ba),01

       ②fahfaf'ahh,01

       我们可以的范围来证明不等式。f(b)f(a)。ba

       11(x0)例1.1证明不等式ln(1)x1x

       证明第一步变形1 ln(1)ln(1x)ln(x)x

       第二步选取合适的函数和范围

       令f(x)lnttx,1x

       第三步应用拉格朗日中值定理

       存在x,1x使得f'()f(1x)f(x)(1x)(x)

       即ln(1x)ln(x)1

       而 <1 x 1 1x

       1x1)而0x 即ln(x1xln(1x)ln(x)

       例 1.2证明：h>-1且h0都有不等式成立：

       hln(1h)h 1h

       证明：令f(x)=ln(1 x),有拉格朗日中值定理，0,1使得

       ln(1h)f(h)f(0)f'(h)h

       当h>0时有

       1h11h,当1h0时有

       11h1h0,即h.1h1hh;1h1h1hh.1h1h

       2．利用函数单调性证明不等式

       我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。

       定理：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b可导，那么

       （1）若在a,b内f'(x)0则f(x)在a,b内单调递增。

       （2）若在a,b内f'(x)0则f(x)在a,b内单调递减。

       使用定理：要证明区间a,b上的不等式f(x)g(x)，只需令F(x)f(x)。g使在(x)a,b上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 设x0证明不等式ln(1x)xex

       证明：令F(x)ln(1x)xex（x>0）

       显然F(0)0

       1exx21xx（x>0）F'(x)exex1x(1x)e

       现在来证明exx210

       令f(x)exx21显然f(0)0

       当x0时f'(x)ex2x0

       于是得f(x)在x0上递增

       故对x0有f(x)f(0)f(x)0

       而(1x)ex0

       所以F'(x)0故F(x)递增

       又因为F(0)0

       所以F(x)0

       所以ln(1x)xex成立

       3．利用函数的最大值和最小值证明不等式

       当等式中含有“=”号时，不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)) g(x)f(x)0（或g(x)f(x)0），亦即等价于函数G(x)g(x)f(x)有最小值或F(x)f(x)g(有最大值。x)

       证明思路：由待正不等式建立函数，通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式。

       1例3.1证明若p>1，则对于0,1中的任意x有p1xp(1x)p1 2

       证明：构造函数f(x)xp(1x)p(0x1)

       则有f'(x)pxp1p(1x)p1p(xp1(1x)p1)

       令f'(x)0，可得xp1(1x)p1，于是有x1x，从而求得x1。由于2

       函数f(x)在闭区间0,1上连续，因而在闭区间0,1上有最小值和最大值。

       由于函数f(x)内只有一个驻点，没有不可导点，又函数f(x)在驻点x1和2

       111p1)p1,f(0)f(1),区间端点(x0和x1)的函数值为f())p(1所以2222

       1f(x)在0,1的最小值为p1，最大值为1，从而对于0,1中的任意x有2

       11f(x)1xp(1x)p1。，既有p1p122

       4．利用函数的泰勒展式证明不等式

       若函数f(x)在含有x0的某区间有定义，并且有直到(n1)阶的各阶导数，又在x0处有n阶导数f(n)(x0)，则有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)f(x)f(x0)1!2!n!

       在泰勒公式中，取x0=0,变为麦克劳林公式

       f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)Rn(x)1!2!n!

       在上述公式中若Rn(x)0(或0)则可得

       f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)，1!2!n!

       f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)(x)(x)。或f(x)f(0)1!2!n!

       带有拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一个定量估计式，该公式在不等式证明和微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有广泛的应用。

       用此公式证明不等式就是要把所证不等式化简，其中函数用此公式，在把公式右边放大或缩小得到所证不等式。

       例4.1若函数f(x)满足：（1）在区间a,b上有二阶导函数f''(x)，（2）

       f'(a)f'(b)0，则在区间a,b内至少存在一点c，使

       f''(c)4f(b)f(a)。2(ba)

       证明：由f(x)在xa和xb处的泰勒公式，并利用f'(a)f'(b)0，得f(x)f(a)f''()(xa)2

       2!f''()f(x)f(b)(xb)2,于是2!

       abf''()(ba)2abf()f(a)(a),22!42

       abf''()(ba)2abf()f(b)(a),22!42

       f''()f''()(ba)2

       相减，得f(b)-f(a)=,24

       4f(b)f(a)1(ba)2

       即f''()f(),(ba)224

       当f''()f''()时，记c否则记c=,那么

       f''(c)4f(b)f(a)(abc)(ba)2

       参 考 文 献

       《数学分析》上册，高等教育出版社，1990.1郑英元，毛羽辉，宋国栋编，2赵焕光，林长胜编《数学分析》上册，四川大学出版社，2022。3欧阳光中，姚允龙，周渊编《数学分析》上册，复旦大学出版社，2022.4华东师范大学数学系编《数学分析》上册，第三版，高等教育出版社2022.

第四篇：探讨定积分不等式的证明方法

       探讨定积分不等式的证明方法

       摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。

       关键词：定积分

       不等式

       证法

       不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。

       1．运用定积分中值定理证明

       定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。

       例1：设f(x)在[0,1]上连续且单调不增，证明a∈[0,1]有

       a0f(x)dx≥af(x)dx．

       01证明：由原不等式变形得即是要证：(1a)a0f(x)dx≥a（f(x)dxf(x)dx)，0010a1a0f(x)dx≥af(x)dx, 对左式，f(x)在[0,1]上连续，故a由定积分中值定理知：

       10，a使

       （1a)f(x)dxa(1a)f(1), 0同理对右式：2a，1使a0f(x)dxa(1a)f(2)，1显然，1＜2又f(x)在[0,1]上单调不增，∴f(1)≥f(2)故原不等式a0f(x)dx≥af(x)dx成立.01定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。2．运用辅助函数证明

       构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。

       例2：设f(x)在[a，b]上连续,且f(x)>0.试证：baf(x)dxba1dx(ba)2 f(x)xxaa证明：构造辅助函数F(x)f(t)dt则F(x)f(x)a

       ='x1dt(xa)2（将b换成x），f(t)11xdtf(t)dt2(xa)af(t)f(x)xaxf(t)xf(x)dtdt2dt

       aaf(t)f(x)f(x)f(t)2)dt

       =a(f(t)f(x)xf(x)f(t)20，∵f(x)＞0，∴

       f(t)f(x)'又a

       0，∴F(b)F(a)0，baf(x)dxba1dx(ba)2． f(x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。这种方法开门见山、直截了当。3．运用定积分的性质和几何意义证明

       与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。

       例３：证明不等式13sinxdx．

       ex(1x2)12esinx1，两端积分得：

       ex(1x2)e(1x2)证明：因为1x3时

       31sinx131dxx221e(1x)e1x12e

       a1例４：设a,b1时，证明不等式abe证明：blnblnxdxb1，e1ba1blnb．

       a10exdx1，根据定积分的几何意义知：

       （a1)blnxdx1ba10exdxblnbea1b，a1abeblnb.即本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几何直观来加以证明。

       4．运用拉格朗日中值定理证明

       利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等。

       M，f(a)0，例5：设f(x)在[a,b]上可导，且f'(x）试证：abf(x)dxM(ba)2.2证明：由题设x[a,b]，f(x)在[a，b]上都满足拉氏中值定理的条件，于是有：

       f(x)f(x)f(a)f'()(xa)，(a,x)，M，∵f'(x）∴f(x)M(xa)两边在[a，b]上定积分得：

       baMf(x)dxM(ba)dx(ba)2.a2b此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。

       5．运用Taylor公式证明

       当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。

       例6：设f(x)在[a,b]上单调增加，且f“(x)＞0，证明

       (ba)f(a)＜abf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)

       2证明：先证左不等号：(ba)f(a)＜

       baf(x)dx，x[a,b]，x＞a，f(x)单调增加，所以f(x)＞f(a)

       故baf(x)dx＞(ba)f(a)„（1）再证右不等号：baf(x)dx＜(ba)f(a)f(b)，2t[a,b]，f(t)在点x处的Taylor展式为：

       f(t)f(x)f'(x)(tx)因

       1f”()(tx)2,其中在t与x之间，2!f"()＞0，f(t)＞f(x)f'(x)(tx)，所以将tb,ta分别代入上式并相加得：

       f(a)f(b)＞2f(x)(ab)f'(x)2xf(x)，将此式在[a,b]上积分得：

       f(a)f(b)(ba)＞2af(x)dx(ab)af'(x)dx2axf(x)dx，有2[f(a)f(b)](ba)＞4故

       bbbbaf(x)dx，baf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)„（2）

       2综合（1）、（2），原不等式得证.Taylor公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor公式常会给你意想不到的突破。

       6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明 柯西—斯瓦兹不等式：

       例7：设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数且f(1)f(0)1，试证：0[f'(x)]dx1.证明：∵f(1)f(0)1210f'(x)dx，又f(1)f(0)1，所以0f'(x)dx1，因f(x)在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，2dx[f'(x)]dx(f'(x)dx)1，由柯西—斯瓦兹不等式得：00011211即是0[f'(x)]dx1.柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。

       7．运用重积分证明

       重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。

       例8：设f(x)是在[0，1]上单调增加的连续函数，12试证：xf0101xf(x)dx23(x)dx13101f3(x)dxf(x)dx122.1102Ixf(x)dxf(x)dxf(x)dxxf证明：设(x)dx

       00003232xf(x)f(y)dxdyf(x)f(y)ydxdy

       =DD3

       =DDf3(x)f2(y)(xy)dxdy„（1）

       23If(x)f(y)(yx)dxdy„（2）同样

       232I(xy)f(x)f(y)(f(x)f(y))dxdy，（1） （2）可得D由于f(x)在[0，1]上单调增加，故(x∴I1y)(f(x)f(y))0，131000，从而0xfxf(x)dx2313(x)dxf(x)dxf(x)dxxf2(x)dx

       012即xf010(x)dx101f3(x)dxf(x)dx2

       0总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。在此，我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。

第五篇：Minkowski不等式的证明(积分形式)

       闵可夫斯基不等式

       在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明Lp空间是一个赋范向量空间

       。设是一个 度量空间，那么

       如果，等号成立

       当且仅当，或者，我们有：

       闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

       对所有

       实数，这里

       是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

       值得指出的是，如果以变为。

       积分形式的证明，则可

       我们考虑的次幂：

       （用三角形不等式展开）

       用 赫尔德不等式（见下文）继续运算可得

       （利用，因为）

       现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

       :

       因为，我们最终得出：

       这就是我们所要的结论。

       对于序列的情况，证明是完全类似的。

       赫尔德（Holder）不等式

       设ai,bi1in是2n个正实数，0,0,1,n

       a则

       i1

       

       i

       bi

       

       

       aibii1i1

       n

       n

       i

       n

       

       n

       

       .[证明] 令Aa

       i1,B

       b

       i1

       i

       那么

       

       n

       A

       

       B

       

       a

       i1

       

       i

       bi

       

       aibi

       i1AB

       n

       

       lg

       aiA

       lg

       biB

       lg

       

       ailg

       bi

       lg

       

       ai

       bi

       

       

       

       aibi

       利用Jensen不等式有AB

       n

       

       aiA

       

       bi

       B成立

       

       i1

       aibi

       AB

       n

       

       

       

       n

       i

       aA

       i1

       

       

       n

       i

       bB

       i1

       1

       

       即

       a

       i1

       

       i

       bi

       

       AB

       

       aibi,得证。

       i1i1

       n

       

       n

       易知积分形式也成立