多重积分方法总结

第一篇：多重积分方法总结

       摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法． 关键词：二重积分 三重积分

       英文题目 Summary of multiple integral method Abstract: The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as “Riemann and” limit.So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties.Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method.Keyword: The double integral triple integral 1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 2.研究问题及成果 2.1．二重积分的计算 1.在直角坐标下：(a)X-型区域

       几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)；

       被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

       Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

       (b)Y-型区域

       几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x)；

       被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

       Df(x,y)dxdydxcdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

       2.在极坐标下：

       几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交

       点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数； rr1()和rr2()（具体如圆域，扇形域和环域等）被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}；

       直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

       f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD21dr2()r1()f(rcos,rsin)rdr．

       注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

       3.二重积分的换元法：

       zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

       xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

       J(x,y)0,(u,v)D (u,v)则有

       f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

       DD

       二． 三重积分的计算

       三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理．

       1.在直角坐标下：

       空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；

       被积区域的集合表示：V{(x,y,z)(x,y)Dxy,z1(x,y)zz2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：

       Vf(x,y,z)dVdxdyDxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

       （所谓“二套一”的形

       式）

       dxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

       （Dxy为X－型）

       dycdx2(y)x1(y)dxz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

       （Dxy为Y－型）

       注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：

       V{(x,y,z)czd,(x,y)Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：

       f(x,y,z)dVVdcdzf(z)dxdy

       （所谓“一套二”的形式）

       Dz

       cf(z)SDdz

       zd其中SD表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．

       z2.在柱坐标下：

       柱坐标与直角坐标的关系：

       xrcosyrsin,(0r,02,z)zz空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且zz1(x,y)和zz1(x,y)也易于进一步表示

       z成关于r,较简单的函数形式，比如x2y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

       被积区域的集合表示：

       V{(r,)12,r1()rr2(),z1(r,)zz2(r,)}；

       直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

       f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzVV

       2r2()z2(r,)d1r1()rdrz1(r,)f(rcos,rsin,z)dz．

       3.在球坐标下：

       球坐标与直角坐标的关系：

       xrsincosyrsinsin,(0r,02,0)zcos空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数rr1(r,)和rr2(r,);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）

       被积区域的集合表示：

       V{(r,,)12,12,r1(,)rr2(,)}；

       直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

       Vf(x,y,z)dVf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

       V=20dd0r2(,)r1(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

       如球心在原点半径为a的球形域下：

       Vf(x,y,z)dVddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

       0002a4.三重积分的换元法：

       uf(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换

       xx(u,v,w)T:yy(u,v,w),(u,v,w)V zz(u,v,w)将V一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且

       J(x,y,z)0,(u,v)V

       (u,v,w)则有

       f(x,y,z)dVf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

       VV

       三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用

       a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．

       求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

       i)曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

       A1fx2fy2dxdy

       Dxx(u,v)ii)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

       zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2.物理应用

       包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

       3.结束语：以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．

       参考文献

       1.华东师范大学数学系 数学分析 高等教育出版社 2.陈传璋 复旦第二版 数学分析 高等教育出版社

第二篇：SPSS多重比较常用方法总结

       1.1 LSD法 最小显著差异法,公式为:

       它其实只是t检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS误差 是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD法是最灵敏的。

       1.2 Bonferroni法 该法又称Bonferroni t检验,由Bonferroni提出。用t检验完成各组间均值的配对比较，但通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率。若每次检验水准为α′,共进行m 次比较,当H0 为真时,犯Ⅰ类错误的累积概率α不超过mα′, 既有Bonferroni不等式α≤mα′成立。

       α′=αm=αC2k=2αk(k…XB)S… dAB,S… dAB = MS误差1nA 1nB 但是该方法在样本组数较小时效果较好,当比较次数m 较多时,结论偏于保守。

       1.3 Sidak法 它实际上就是Sidak校正在LSD法上的应用,即通过Sidak校正降低每两次比较的Ⅰ类错误概率,以达到最终整个比较的Ⅰ类错误概率为α的目的。即α′= 11);t =(…XA…XB)/MS误差21nA 1nB,它实质上是根据预先制定的准则将各组均数分为多个子集, 利用Studentized Range分布来进行假设检验,并根据所要检验的均数的个数调整总的Ⅰ类错误概率不超过α。用student range分布进行所有各组均值间的配对比较。如果各组样本含量相等或者选择了（差异较小的子集）的均值配对比较。在该比较过程中，各组均值从大到小按顺序排列，最先比较最末端的差异。1.5 Dunnett2t检验

       t =…Xi1以及检验水准α查Dunnett2t界值表,作出推断。

       1.6 Duncan法(新复极差法)（SSR）指定一系列的“range”值，逐步进行计算比较得出结论。

       q′=(…XA…XB | ≥T时,可以认为比较的两组总体均数μA 与μB 有差别;反之,尚不能认为μA 与μB 有差别。该方法要求各组样本含量相同,且一般不会增大Ⅰ型错误的概率。用student range统计量进行所有组间均值的配对比较，用所有配对比较误差率作为实验误差率。

       1.8 Scheffe检验

       检验统计量为F,计算公式为:F =(…XA1)即当| …XA1)时,可以认为在α水准上,比较的两组总体均数μA 与μB 有差别。k为处理组数, Fα(ν1,ν2)为在α水准上,方差分析中的组间自由度为ν1(ν1 = kk)时,由方差分析用F界值表查得的F临界值。

       以上8种多重检验方法由于使用方便,计算简单而被广大科研工接受。

第三篇：高数下册各类积分方法总结

       综述：高数下册，共有如下几类积分：二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分。其中，除线积分外，个人认为，拿到题后，首先应用对称性把运算简化，线积分的对称性，不太常用，可以参照面积分的对称性，将积分曲面换成积分曲线即可，恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性，线积分以逆时针为正方向，面积分以坐标轴正向为正方向。二重积分 对称性：

       积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：

       被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：分别对x、y积分，将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元 三重积分 对称性：

       积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0；

       被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：先重后单||先单后重（极坐标）||柱坐标||球坐标

       第一类线积分

       x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t的积分

       x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

       第二类线积分 方法：

       1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分

       2、有参数t，可以转化成关于t的积分

       3、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

       4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分 另：注意与路径无关的积分

       第一类面积分 对称性：

       积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0：

       被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍

       计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。

       第二类面积分 对称性:

       积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0：

       被积函数是关于z的奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍（注意区别于第一类）计算方法：

       1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分

       2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可

       3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向

       4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用

       PS：用函数表达式，可以化简线面积分的被积函数，另有积分相关考点，旋度，散度，质量，质心，转动惯量，求曲面侧面面积，顶面面积，曲顶柱体体积~~~多多复习，牢记公式，一定可以渡过积分这个难关~

第四篇：校园无忧网积分方法

       积分作用

       1、积分可以兑换许多精美礼品，兑换后就可以直接拥有！

       2、提醒：积分也可能被扣除哦，无忧网在此提醒大家：信用很重要哦~

       获分途径

       网上登录： 2分(一天内登录只加一次)在手动点击领取 网上兼职预定： 10分(一天只加一次)网上培训预定： 10分(一天只加一次)网上活动预定： 10分(一天只加一次)

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第五篇：AP Calculus中的积分方法总结

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       AP Calculus中的积分方法总结

       AP频道为大家带来AP Calculus中的积分方法总结一文，希望对大家AP备考有所帮助。

       1.常见公式

       首先第一波是希望大家一定要牢记的公式

       每个都必须背起来!

       第二波公式属于：背不下来，你可以考场上临时推导一下嘛!下一篇推送我们在讲到具体方法的时候在三角函数那一块会来和大家讨论这些式子如何推导。知道推导方法了以后，我们也可以考场上临时求一下。

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       2.换元法

       一般常见的换元法，就不多说了，看到式子不熟悉的情况下，可以尝试用换元来做，但是换元如何选择，选择的好不好也影响到了这道题能不能做出来，方法是否简单。

       比如下面这个式子：

       如何选择换元呢?你有以下几种选择：

       怎么选择才是最方便的呢?如何选择换元呢?

       总不能考试的时候慢慢试探吧。

       所以希望大家能够熟练的掌握下一种方法：

       凑微分法!

       3.凑微分法 三立教育ap.sljy.com

       什么时候使用凑微分的方法?就是当你看到积分式子中有这样的形式可以去凑，并且剩余的部分只和右边括号里面的式子有关系，那么就可以用这样凑微分的方法来计算。

       比如回到我们刚才的式子：

       如果稍微做出一些变形后，大家可以看到式子可以被变换成： 三立教育ap.sljy.com

       可以把一个对x积分的式子变成对tanx积分的式子，同时我们可以观察到，剩下来的部分都是和tanx有关的部分，因此就可以把tanx看成是一个整体来处理。

       这里如果用换元法去做的话，其实是我们把tanx看成了一个整体进行换元。

       那么怎么知道这才是正确的换元方法呢?

       你得对上面的十个式子非常熟悉才可以吧!

       4.一些特殊形式的规律

       1.多项式分式

       如果分母相对来说比较简单

       (什么叫分母简单呢，就是你把分子全部换成1以后，这样的分式你会积分计算，那就可以判断成分母较为简单)

       如这样的一些分母：

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       这些分母形式都是可以直接套用公式，或者通过简单的换元/凑系数的方法进行快速的积分，因此我们把他们归成简单的分母。

       (1)如果分子的最高次数大于等于分母的最高次数

       the highest order of the numerator is greater than or equal to the highest order of the denominator

       比如这样的：

       分子的最高次数都要大于等于分母的最高次数：

       我们采取的方法是：拆分子

       也就是把分子拆成多项来和分母约分，从而让最后的分式只保留分子较为简单的形式：

       (2)如果分母相对来说比较简单，但是分子的次数较小

       这个时候我们需要对分母进行处理，如果分母出现是二次多项式的形式 三立教育ap.sljy.com

       我们可以把分母根据不同形式分成两种类型

       如果分母是第一种形式，我们把积分式子往arctan(x)的公式上去凑，比如：

       如果分母是第二种形式，我们需要进行因式分解，比如：

       不管分子是简单的1，还是关于x的简单的低次多项式，都可以采取这个方法。

       为了更好的记住多项式分式的做法，大家可以练习下面这个多项式系列↓ 三立教育ap.sljy.com

       我们根据上面讲的方法进行一下归类

       (1)，(4)，(7)，(13)可以直接用公式适当变形后直接积分。

       (2)，(3)，(5)，(6)，(9)，(12)，(15)都属于分子最高次数大于等于分母最高次数，因此可以用拆分子的方法计算。

       (8)，(11),(14)因为分子都出现了xdx，剩余部分都是关于x平方的形式，因此可以用凑微分的方法计算。

       (10)比较特殊，我们可以把分母因式分解后，拆分成两个分式分别进行计算。

       饶莹/文

       以上就为大家整理的“AP Calculus中的积分方法总结，更多精彩内容