第一篇：整式的乘除与因式分解全单元教案
整式的乘除与因式分解全单元教案
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课
件.xiexiebang.com 第十五章整式的乘除与因式分解
§15．1．1
整式
教学目标
．单项式、单项式的定义．
2．多项式、多项式的次数．
3、理解整式概念．
教学重点
单项式及多项式的有关概念．
教学难点
单项式及多项式的有关概念．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题
．要表示△ABc的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？
2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？
结论：、要表示△ABc的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABc•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设Bc=a，Ac=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABc的周长可以表示为a b c；△ABc的面积可以表示为•c•h．
2．小王的平均速度是．
问题：这些式子有什么特征呢？
（1）有数字、有表示数字的字母．
（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．
归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
判断上面得到的三个式子：a b c、ch、是不是代数式？（是）
代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
（出示投影）
结论：（1）正方形的周长：4x．
（2）汽车走过的路程：vt．
（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．
（4）n的相反数是－n．
分析这四个数的特征．
它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a b c、ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a b c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
结论:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-
1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、•ch都是二次单项式；a3是三次单项式．
问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？
结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．
生活中不仅仅有单项式，像a b c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
写出下列式子（出示投影）
结论:（1）t-5．（2）3x 5y 2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.12r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2 2x 18．
我们可以观察下列代数式：
a b c、t-
5、3x 5y 2z、ab-3.12r2、x2 2x 18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？
这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．
根据定义，我们不难得出a b c、t-
5、3x 5y 2z、ab-3.12r2、x2 2x 18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
a b c的项分别是a、b、c．
t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．
3x 5y 2z的项分别是3x、5y、2z．
ab-3.12r2的项分别是ab、-3.12r2．
x2 2x 18的项分别是x2、2x、18．
找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
Ⅲ．随堂练习
．课本P162练习
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．
Ⅴ．课后作业
．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
2．预习“整式的加减”．
课后作业：《课堂感悟与探究》
§15．1．2整式的加减（1）
教学目的：
、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：
会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。
教学难点：
正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。
教学过程：
一、课前练习：
、填空：整式包括
和
2、单项式的系数是
、次数是
3、多项式是
次
项式，其中二次项
系数是
一次项是
，常数项是
4、下列各式，是同类项的一组是（）
（A）与
（B）与
（c）与
5、去括号后合并同类项：
二、探索练习：、如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为
交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为
这两个两位数的和为
2、如果用a、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为
交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为
这两个三位数的差为
●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？
说说你是如何运算的？
▲整式的加减运算实质就是
运算的结果是一个多项式或单项式。
三、巩固练习：、填空：（1）与的差是
（2）、单项式、、、的和为
（3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，一个三角形需六个棋子，三个三角形需
（）个棋子，n个三角形需
个棋子
2、计算：
（1）
（2）
（3）
3、（1）求与的和
求与的差
4、先化简，再求值：
其中
四、提高练习：
、若A是五次多项式，B是三次多项式，则A B一定是
（A）
五次整式
（B）八次多项式
（c）三次多项式
（D）次数不能确定
2、足球比赛中，如果胜一场记3a分，平一场记a分，负一场
记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多
少分？
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被14
整除，请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式的值与x的取值无关，试求m、n的值。
五、小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、作业：第8页习题1、2、3
15．1．2整式的加减（2）
教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力。
2.通过探索规律的问题，进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。
教学重点：整式加减的运算。
教学难点：探索规律的猜想。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪
教学过程：
I探索练习：
摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要
枚棋子，摆第3个需要
枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。
（1）摆第10个这样的“小屋子”需要
枚棋子
（2）摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？小组讨论。
二、例题讲解：
三、巩固练习：
、计算：
（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2）
（2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）
（3）x－（1－2x＋x2） （－1－x2）（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）
2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，计算：（1）B－A
（2）A－3B
3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于180°，如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍，而第三个角比第二个角大15°，那么
（1）第一个角是多少度？
（2）其他两个角各是多少度？
四、提高练习：
、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋c＝0，问c是什么样的多项式？
2、设A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋
（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上（0为数轴原点）的对应点如图：
试化简：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小
结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。
作
业：课本P14习题1.3：1（2）、（3）、（6），2。
《课堂感悟与探究》
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第二篇：整式乘除与因式分解复习教案
整式的乘除与因式分解复习
菱湖五中
教学内容
复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。
教学目标
通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。教学分析
重点
根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。
难点
整式的除法与因式分解的应用是本课难点。
教学方法与手段
采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。本课教学以练习为主。教学过程
一．回顾知识点
（一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘
2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式
6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式
8、平方差公式
9、完全平方公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式
2、多项式除以单项式
（三）因式分解
1、因式分解的概念
2、因式分解与整式乘法的关系
3、因式分解的方法
4、因式分解的应用 二．练习巩固
（一）单项式乘单项式
(1)(5x3)(2x2y),(2)(3ab)2(4b3)(3)(am)2b(a3b2n)，231(4)(a2bc3)(c5)(ab2c)343
（二）单项式与多项式的乘法
(1)(2a)(x2y3c),(2)(x2)(y3)(x1)(y2)(3)(xy)(2x1y)
2（三）乘法公式应用
(1)(6xy)(6xy)(2)(x4y)(x9y)(3)(3x7y)(3x7y)
（四）整式的除法
1(1)(a6b4c)((2a3c)41(2)6(ab)5[(ab)2]3(3)(5x2y34x3y26x)(6x)13(4)x3my2nx2m1y2x2m1y3)(0.5x2m1y2)3
4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by 3y(2)-4a3b2 6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3
（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2
(2)-81x2 4(y-1)2(3)x2-14x 49(4)(x y)2-6(x y) 9
（七）因式分解的应用
1、解方程
（1）9x2 4x=0
(2)x2=(2x-5)2
2、计算
（1）(2mp-3mq 4mr)÷(2p-3q 4r)（2）(16-x4)÷(4 x2)÷(x-2)探究活动:
求满足4x29y231的正整数解。小结：本课复习的主要运算类型。布置作业
设计意图：根据内容特点，运算规律与方法是学生应掌握的重点，所以本课复习以练习为主，通过大量题型训练，使学生理解掌握各类运算技巧，并力求熟练。
第三篇：整式的乘除与因式分解单元测试卷及答案
选择题（每小题4分，共24分）
1．（4分）下列计算正确的是（）
A．a2 b3=2a5B．a4÷a=a4C．a2a3=a6D．（﹣a2）3=﹣a6
2．（4分）（x﹣a）（x2 ax a2）的计算结果是（）
A．x3 2ax a3B．x3﹣a3C．x3 2a2x a3D．x2 2ax2 a
33．（4分）下面是某同学在一次检测中的计算摘录：
①3x3（﹣2x2）=﹣6x5 ②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a ③（a3）2=a5④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a
2其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（4分）若x2是一个正整数的平方，则它后面一个整数的平方应当是（）
A．x2 1B．x 1C．x2 2x 1D．x2﹣2x
15．（4分）下列分解因式正确的是（）
A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．m2 m﹣6=（m 3）（m﹣2）C．（a 4）（a﹣4）=a2﹣16D．x2 y2=（x y）（x﹣y）
6．（4分）（2022常州）如图：矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK．若LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为（）
A．bc﹣ab ac b2B．a2 ab bc﹣acC．ab﹣bc﹣ac c2D．b2﹣bc a2﹣ab
答案：
1，考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。1923992
分析：根据同底数相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解答：解：A、a2与b3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、应为a4÷a=a3，故本选项错误；
C、应为a3a2=a5，故本选项错误；
D、（﹣a2）3=﹣a6，正确．
故选D．
点评：本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
2．考点：多项式乘多项式。192399
2分析：根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可．
解答：解：（x﹣a）（x2 ax a2），=x3 ax2 a2x﹣ax2﹣a2x﹣a3，=x3﹣a3．
故选B．
点评：本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
3．考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；整式的除法。1923992
分析：根据单项式乘单项式的法则，单项式除单项式的法则，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的性质，对各选项计算后利用排除法求解．
解答：解：①3x3（﹣2x2）=﹣6x5，正确；
②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a，正确；
③应为（a3）2=a6，故本选项错误；
④应为（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，故本选项错误．
所以①②两项正确．
故选B．
点评：本题考查了单项式乘单项式，单项式除单项式，幂的乘方，同底数幂的除法，注意掌握各运算法则．
4考点：完全平方公式。1923992
专题：计算题。
分析：首先找到它后面那个整数x 1，然后根据完全平方公式解答．
解答：解：x2是一个正整数的平方，它后面一个整数是x 1，∴它后面一个整数的平方是：（x 1）2=x2 2x 1．
故选C．
点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab b2．
5，考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义。1923992
分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解，注意分解的结果要正确．
解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x 1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；
B、运用十字相乘法分解m2 m﹣6=（m 3）（m﹣2），正确；
C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；
D、没有平方和的公式，x2 y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了因式分解定义，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
6考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义。192399
2分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解，注意分解的结果要正确．
解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x 1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；
B、运用十字相乘法分解m2 m﹣6=（m 3）（m﹣2），正确；
C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；
D、没有平方和的公式，x2 y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了因式分解定义，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
6．考点：列代数式。1923992
专题：应用题。
分析：可绿化部分的面积为=S长方形ABCD﹣S矩形LMPQ﹣S?RSTK S重合部分．
解答：解：∵长方形的面积为ab，矩形道路LMPQ面积为bc，平行四边形道路RSTK面积为ac，矩形和平行四边形重合部分面积为c2．
∴可绿化部分的面积为ab﹣bc﹣ac c2．
故选C．
点评：此题要注意的是路面重合的部分是面积为c2的平行四边形．
用字母表示数时，要注意写法：
①在代数式中出现的乘号，通常简写做“”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号；
②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；
③数字通常写在字母的前面；
④带分数的要写成假分数的形式．
以上对整式的乘除与因式分解单元测试卷的练习学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们都能很好的参考，迎接考试工作。
第四篇：第十五章整式的乘除与因式分解小结
旭日培训学校
第十五章 整式的乘除与因式分解 小结
一、同底数幂的乘法：
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即ａ ·ａ ＝ａ（ｍ、ｎ都是正整数）。注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即ａ ·ａ ·ａ ＝ａ
（ｍ、ｎ、ｐ都是正整数）。
（２）运算性质可以逆运用，即ａ ＝ａ ·ａ。
（３）幂的底数ａ可以是单项式，也可以是多项式。
二、幂的乘方与积的乘方：（１）幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ａ）＝ａ（ｍ、ｎ都是正整数）。注意：（１）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
（２）此性质可以逆运用，即ａ ＝（ａ）＝（ａ）。（２）积的乘方法则：
积的乘方，等于各因数乘方的积，即（ａｂ）＝ａ ｂ（ｎ为正整数）。
注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即（ａｂｃ）＝ａ ·ｂ ·ｃ（ｎ为正整数）。
（２）此性质可以逆运用，即ａ ·ｂ ＝（ａｂ）。
三、同底数幂的除法：
同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即ａ ÷ａ ＝ａ（ａ≠０，ｍ、ｎ为正整数，且ｍ＞ｎ）。
注意：此性质可以逆运用，即ａ ＝ａ ÷ａ。
四、零指数幂与负整数指数幂：
在ａ ÷ａ ＝ａ 中，当ｍ＝ｎ时，规定ａ ÷ａ ＝ａ ＝１（ａ≠０）
当ｍ＜ｎ时，规定ａ ÷ａ ＝ａ
＝
。（１）零指数幂的意义：
任何不等于零的数的零次幂都等于１，即ａ ＝１（ａ≠０）。（２）负整数指数幂的意义：
任何不等于零的数的－ｎ（ｎ为正整数）次幂，等于这个数的ｎ次幂的倒数，即ａ ＝
（ａ≠０，ｎ为正整数）。
注意：（１）在这两个幂的意义中，强调底数ａ都不等于零，否则无意义。
（２）学习零指数幂与负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到整数指的幂。
五、科学计数法：
利用科学计数法表示绝对值较大的数，即表示成ａ×１０ 的形式，ｎ为正整数，１≤｜ａ｜＜１０。对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大数的计法，用１０的负整数次幂表示，而将原式写成ａ×１０ 的形式，其中ｎ为正整数，１≤｜ａ｜＜１０，这也称为科学计数法。
六、单项式与单项式相乘：
单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
七、单项式与多项式相乘：
单项式与多项式相乘的法则：
单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。
注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。
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八、多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。
九、平方差公式：（１）内容：
（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²（２）意义：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。（３）特征：
①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差；
③公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。（４）几何意义：
平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。（５）拓展：
①立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³； ②立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。
③（ａ－ｂ）（ａ ＋ａ ｂ＋ａ ｂ²＋„＋ａ²ｂ ＋ａｂ ＋ｂ）＝ａ －ｂ。
十、完全平方公式：（１）内容：
（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ；
（ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。（２）意义：
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。（３）特征：
①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。”
②公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。（４）几何意义：（５）推广：
①（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ；
②（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；
③（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。
十一、单项式与单项式相除：
单项式与单项式相除的法则： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：（１）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。
（２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。
十二、多项式与单项式相除：
多项式与单项式相除的法则：
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）÷ｍ＝ａｍ÷ｍ＋÷ｂｍ÷ｍ＋ｃｍ÷ｍ＋ｄｍ÷ｍ。
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注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。
十三、整式的混合运算：
关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。
十四、因式分解的意义：
把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。
注意：（１）因式分解的要求：
①结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；
②每个因式必须是整式；
③各因式要分解到不能分解为止。
（２）因式分解与整式乘法的关系：
是两种不同的变形过程，即互逆关系。
十五、因式分解的方法：
（１）提公因式法分解因式：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。（２）利用公式法分解因式：
①平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。②完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²；
ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。
③立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）；
ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）。
注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。（３）分组分解法：
①将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。②适用范围：适合四项以上的多项式的分解。
分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。（４）其他方法：
①十字相乘法：ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。
②求根公式法：若ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２，ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。
十六、因式分解的一般步骤及注意问题：
（１）对多项式各项有公因式时，应先提供因式。
（２）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。
分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
十七、添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
第五篇：整式的乘除与因式分解说教材稿
整式的乘除与因式分解说教材稿
尊敬的各位领导、各位老师：
下午好！今天我说教材的内容是：人教版八年级数学上册第十五章《整式的乘除与因式分解》，八上数学一共五章：第十一章《全等三角形》，第十二章《轴对称》，第十三章《实数》，第十四章《一次函数》，第十五章《整式的乘除与因式分解》。另外，初中数学分为四大领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用，其中数与代数包含实数、代数式、方程与不等式、函数，《整式的乘除与因式分解》属于数与代数中的代数式部分。
《整式的乘除与因式分解》我将从以下五个方面来说明：
一、课标要求；
二、编写意图；
三、体例安排；
四、知识内容；
五、教学建议。
一、课标要求：
1.课标总体要求：⑴获得重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能； ⑵初步学会运用数学的思维方式去解决问题；⑶体会数学与自然及人类社会联系，了解数学的价值；⑷在情感态度和一般能力方面得到发展。基本的理念是：人人学有价值的数学；人人能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
2.课标对本章的要求：⑴知识与技能：经历探索幂的运算性质、整式乘法公式的过程；了解公式的几何意义；掌握幂的运算性质、整式乘法公式，能灵活利用公式进行计算；理解因式分解的意义，能熟练进行因式分解；⑵数学思考：建立数感、培养抽象思维及化归的思想方法，发展合情推理能力，有条理的清晰地阐述自己的观点；⑶解决问题：尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性；⑷情感与态度：认识通过观察、计算、归纳、类比、推断可以获得数学猜想；体验数学活动充满着探索性和创造性；感受证明过程的严谨性以及公式的简洁美。
二、编写意图：
1.增加了丰富的问题情境：通过让学生解决实际生活中的问题，加强对整式乘法和因式分解的初步感受，从中“发现”整式乘法的性质，归纳整式乘法公式及因式分解的方法；2.加大了探索交流的空间：教材设置了思考、探究、讨论等栏目引导学生自主探索，激发学生进行思考，促进合作交流；3.分层次的练习和习题：习题分为：复习巩固、综合运用、拓展提高，满足不同层次学生的需要；4.丰富多彩的数学活动：丰富多彩的数学活动，使学生增加了合作、交流的机会。加大了探索交流的空间。
三、体例安排：
1.章前图和引言：供学生预习用也作为教师导入新课的材料；2.观察、思考、探究、讨论、归纳等栏目：为学生提供思维发展，合作交流的空间；3.选学栏目：观察与猜想，实验与探究，阅读
与思考等选学栏目为加深对相关内容的认识，扩大学生的知识面；4.小贴士和云朵：小贴士介绍正文内容相关的背景知识。云朵有助于理解正文的问题； 5.数学活动：具有综合性、实践性、开放性；6.小结：本章的知识结构图和本章内容回顾与思考；7.习题：习题分为练习、习题和复习题，供学生课堂及复习使用。
四、知识内容：
1.本章的知识结构：⑴本章主要分为整式的乘除、因式分解两大部分；⑵其中整式的乘除分为：整式的乘法、整式的除法，因式分解有：提公因式法、公式法、x2
(p q)x pq型式子的因式分解；⑶整式的乘法包含幂的运算性质、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，（其中单项式乘以单项式是整式乘法的重点）整式的除法包含同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式，因式分解中的公式法包含平方差公式、完全平方公式，⑷幂的运算性质又包含同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方（幂的运算是整式乘法的基础），多项式乘以多项式又包含平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法延伸拓展得到0指数幂的定义。另外，整式的乘法与因式分解是相反方向的变形，多项式乘法中的平方差公式、完全平方公式与因式分解中平方差公式、完全平方公式就是相反方向的变形。
2.知识的纵向整合：整式的乘除运算是对前面所学数的运算的延伸拓展，因此学习本章要加强对数的运算的回顾与复习，要注意整式的乘除运算与数的运算联系与区别；如幂的运算性质的推导都要用到乘方运算的意义，单项式乘以多项式的法则实质就是乘法分配律等，数的运算到式的运算是学生思维的一次飞跃，是从具体到抽象、特殊到一般。整式的乘除与因式分解是数与代数的核心与基础，是学生以后学习代数的关键，如八下分式的约分、通分及分式的计算、九上一元二次方程解法中的：配方法、因式分解法就是本章知识的直接应用，甚至高中阶段的指数、对数及一元二次不等式等内容无不与本章知识有密切的联系。
五、教学建议：
1、注重联系实际：⑴设置学生身边熟悉的实际问题；⑵选用学生感兴趣的实际问题。让学生感受数学来源于实际，学习数学是为了更好地解决实际问题，培养学生数学的应用意识；
2、注意加强知识间的纵向联系与综合：幂的运算的学习过程中，应该复习乘方运算、底数、指数、幂的意义在这个基础上进行教学，更有助于学生对知识的掌握。
3、让学生经历数学知识的形成过程：在完全平方公式的证明过程中，可以从数、形两个方面加以推到说明。这样既加深学生对公式的理解，又可让学生体会成功的愉悦；
4、注重分析思路，让学生学会思考问题 ；
5、关注学生的学习兴趣和参与程度。
各位领导、各位老师，不足之处，敬请批评指正！谢谢！
2022年10月18日星期二
