平方根---教案(二)1
重点：算术平方根的概念和求法．问：
1．625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？
2．-7和7是哪个数的平方根？
3．正数m的平方根怎样表示？
4．下列各数的平方根各是什么？
答：
1．625的平方根是25和-25，这两个平方根的和是0．
2．-7和7是49的平方根．
(2)0的平方根是0．
(5)因为-16＜0，所以-16没有平方根．
(6)因为(-4)3=-64＜0，所以(－4)3没有平方根．
问：已知正方形的面积等于a，那么它的一条边长等于多少？
用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义．如图所示，面积为a(a应是非负
(1)被开方数a表示非负数，即a≥0；
号，如a≥0
数a的正的平方根．
例1 求下列各数的算术平方根：
问：怎样求各数的算术平方根？
答：可以通过平方运算求一个正数的算术平方根．
解 (1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即
(4)因为(0.7)2=0.49，所以0.49的算术平方根是0.7，即
问：一个正数a的平方根与这个正数的算术平方根之间有什么关系？
指出：平方根与算术平方根这两个概念之间既有区别又有联系，区别在于正数的
它的算术平方根的相反数．
例2求下列各数的平方根及算术平方根：
(2)因为(±0.09)2=0.0081，所以0.0081的平方根是±0.09，即
0.0081的算术平方根则是
问：说明下列各式所表示的意义是什么？分别求出它们的值．
1．下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2．判断下列各题正确与错误，并将错误改正．
3．求下列各数的平方根及算术平方根：
4．求下列各式的值：
答案：1(3)无意义，其他各题均有意义．
2．(1)正确；(2)，(3)，(4)错误．
(6)正确． (7)正确．
3．(1)±100，100； (2)±2.7，2.7；
平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，要全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系．
1．平方根和算术平方根的区别．
(1)定义不同．如果x2=a，那么x叫做a的平方根．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
如果x2=a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．
(3)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1．
2．平方根和算术平方根的联系．
(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．
(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．
1．求下列各式的值：
2．求下列各数的平方根及算术平方根：
答案：
(4)±70，70； (5)±10-2，10-2．
平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点．学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，这是这两节课的主要教学目标．在教学设计中，力求在以下两方面突出特点：
1．引导学生建立清晰的概念系统，首先在第1课时要求学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示法；其次在第2课时专门讨论算术平方根的概念及其表示
2．编选了有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．
在课堂练习中设计了一组纠正错误的练习题，实践表明，这种课堂练习是引导学生正确认知的一种有效方法．
平方根---教案(二)2
一、内容和内容解析
1．内容
无限不循环小数；求算术平方根的更一般的方法---用有理数估算、用计算器求值．
2．内容解析
无限不循环小数的引入，教科书是通过用有理数估计的大小，得到的越来越精确的近似值，进而发现是一个无限不循环小数的结论．发现无限不循环小数的过程就是反复运用有理数估计无理数的大小的过程．
用有理数估计(一个带算术平方根符号的)无理数的大致范围，通常利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，这种估算在生活中经常遇到，是学生生活中需要的一种能力．
使用计算器可以求任何正数的平方根，但不同品牌的计算器，按键顺序可能不同，教学中，可以让学生根据计算器品牌，参考使用说明书，学习使用计算器求算术平方根的方法．这完全可以让学生自己完成．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）通过估算，体验“无限不循环小数”的含义，能用估算求一个数的算术平方根的近似值．
（2）会利用计算器求一个正数的算术平方根；理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律．
2．目标解析
（1）学生了解“无限不循环小数”是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数，感受这是不同于有理数的一类新数；对于估算，学生要会利用估算比较大小；了解夹逼法，采用不足近似值和过剩近似值来估计一个数的范围．
（2）学生会概述利用计算器求一个正数的算术平方根的程序(按键的顺序)；明白利用计算器求一个正数的算术平方根，计算器显示的`结果可能是近似值；会利用作为工具的计算器探究算术平方根的规律，理解被开方数小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根就相应地向右或向左移动1位，即被开方数每扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根就扩大(或缩小)10倍．
三、教学问题诊断分析
用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围，需要学生理解“算术平方根的被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，还要判断被开方数在哪两个相邻的整数平方数之间．为了让学生体验“无限不循环小数”的含义，还要多次采用“夹逼法”进行估计，即利用其一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，这些对学生综合运用知识的能力有较高的要求．
基于以上分析，本课的教学难点是：用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围的过程，体验“无限不循环小数”的含义．
四、教学过程设计
1．梳理旧知，引出新课
问题1 （1）什么是算术平方根?怎样表示?
（2）负数有算术平方根吗？
师生活动 学生回答，教师说明：我们上节课已经能求出一些平方数的算术平方根了，例如，=4；但实际生活中，我们还会遇到被开方数不是一个数的平方数的情况，这时，它的算术平方根又该怎祥求呢？
设计意图：复习与本节课相关的知识，通过设问，引出本节课学习内容．
2．问题探究，学习新知
问题2 能否用两个面积为1d的小正方形拼成一个面积为2d的大正方形？
师生活动：学生动手操作，在小组内讨论交流，教师展示剪拼方法．
追问（1） 拼成的这个面积为2d的大正方形的边长应该是多少呢？
师生活动：学生自行解答，教师对解答有困难的学生进行指导．
追问（2） 小正方形的对角线的长是多少呢？
师生活动：学生根据图形，不难回答，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长d．
设计意图：通过实际问题的操作探究，说明实际生活中确实存在被开方数不是一个数的平方数的情况，激发学生学习积极性，追问（2）主要为后面介绍用数轴上的点表示作准备．
问题3 有多大呢？为了弄清这个问题，请同学们探究“在哪两个整数之间呢？”
师生活动：先让学生思考讨论并估计大概有多大，由直观可知大于1而小于2，教师引导学生利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”说明理由，教师板书推理过程．
追问（1） 那么是1点几呢？你能不能得到的更精确的范围？
师生活动：学生用试验的方法可得到平方数小于2且最接近的1位小数是1．4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1．5，所以大于1．4而小于1．5……，在此基础上教师按教科书上的推理进行讲解并板书．说明是一个无限不循环小数，以及什么是无限不循环小数．并要求学生回忆以前学过的数，进行比较．
追问（2） 实际上，许多正有理数的算术平方根，如，，等都是无限不循环小数．根据估计的大小的方法，请你估计的整数部分是多少？
设计意图：通过对大小的估计，初步掌握利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的方法，并从中体会是一个无限不循环小数．让学生回忆以前学过的数，通过比较，了解无限不循环小数的特征，为后面学习无理数打下基础．追问（2）主要为及时巩固估算方法．
3．用计算器，求算术根
例1 用计算器求下列各式的值：
（1）； （2）(精确到0．001)
师生活动：教师指导学生操作，获得问题答案．解答完（2）后，让学生与上面所估计的的大小进行比较，体会夹逼法的可行性．说明用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，但不同品牌的计算器，按键顺序可能有所不同．用计算器求出的算术平方根，有的是准确值，如题（1），有的是近似值，如题（2）．
设计意图：使学生会使用计算器求算术平方根．
练习 教科书第44页练习1．
师生活动：学生独立完成后交流．
设计意图：巩固计算器求算术平方根．
4．综合应用，巩固所学
现在我们来解决本章引言中的问题．
问题4 （1）你会表示出, 吗？
（2）用计算器求, ．(用科学记数法把结果写成的形式，其中保留小数点后一位)
师生活动：学生理解题意，根据公式，可得，，将，代入，利用计算器求出, ．
设计意图：让学生体会计算器在解决实际问题中的应用．
问题5 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中．
…
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
（1）利用夹逼法来求算术平方根的近似值的依据是什么？
（2）利用计算器可以求出任意正数的算术平方根或近似值吗？
（3）被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律是怎样的呢？
（4）怎样的数是无限不循环小数？
设计意图：让学生对本节课知识进行梳理，同时也帮助学生养成良好的习惯．
6．布置作业：
教科书习题6．1第6、9、10题．
五、目标检测设计
1．求的整数部分．
【设计意图】主要考查学生的估算能力．
2．比较下列各组数的大小．
（1）与；（2）与12；（3）与．
【设计意图】主要考查学生的估算和比较大小的能力．
3．若，，那么_______；_______．
【设计意图】主要考查学生对算术平方根概念以及有关规律的理解．
4．国际比赛的足球场的长在100到110之间, 宽在64到75之间, 现有一个长方形的足球场其长是宽的1．5倍, 面积为7560, 问：这个足球场能用作国际比赛吗？
【设计意图】主要考查学生运用算术平方根解决实际问题的能力．
