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学生独立思考,小组交流后回答
教师布置数学活动
学生分组进行活动,给出探究结论。
教师板书课题
以这首小诗,激发学生大胆参与课堂探究的勇气。
以实际问题情境引入,激发学生学习兴趣,引入本节课题
动手具体做一做,在做中领悟数学
2、解释、应用与交流
问题1、怎样走最近?
如图1,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?
教师提出问题
学生思考、讨论,发表看法
教师注意对学生几何语言的训练(强调“连接AB”)
在解释、应用与交流中理解数学内容
问题2、河道长度
如图2,把原来弯曲的河道改直,A、B两地间的河道长度有什么变化?
图2
问题3、九曲桥
(2)如图3,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座笔直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出其中的道理。
图3
你还能举出一些类似的例子吗?
小猫看见鱼,小狗看见骨头后会怎样运动?
有人过马路到对面的商店去,但没有走人行道,为什么呢?
其他
学生独立思考、小组讨论、组间交流,发表看法,相互评价
设置三个问题,通过解释、应用与交流活动,强化理解所学新知。
理解的四个层次:1、可以结合自己的体验或用自己的话阐述复杂概念;2、进行联想、比喻及推论;3、在新环境中能解决问题;
4、做出创新。
举例也是考察学生对事物真正理解与否的方式之一。
3、拓广探索与交流
蚂蚁爬行路线最短问题
如图4,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短?如果要爬行到顶点C呢?
4
图
利用手中的正方体具体实验一下,告诉大家你的结论。
学生独立思考,小组实验、探究与交流,组间相互评价
动手实验,自主探究,合作交流。
发表观点,引发思考
引导探究继续深入,引发对问题的深层思考,达到理解的第三层次。力争达到第四层次,学生作出创新。
道理暂时说不出不要紧。关键是在活动中获得的副产品。
三、回顾、思考与交流
设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者,在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。
四、作业
对蚂蚁爬行最短问题的再思考:如果蚂蚁在长方体的一个顶点上,如果蚂蚁在圆柱上,这时问题发生怎样的变化?问题如何解?
请把你对此问题的研究写成数学小作文,注意写出自己的情感体验。
学习思考、组内交流、组间交流
学习、反思,提高、升华
效果检测
1、通过课堂学习活动的展示与交流,学生对学生进行相互评价
2、在学习活动过程中教师注意及时地鼓励、指导、点评,实施过程评价
3、课后要求学生“蚂蚁爬行最短”问题进行继续研究,并写出数学小作文。
附件──本节课的后续影响的例举
关于最短路径思考
黄博阳
我们已经学过“两点之间,线段最短”这个数学公理了。这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙,将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。
当A、B在同一平面内时,即使是从北京到天津,我们也可以轻松地利用“两点之间,线段最短”得出线段AB是A、B两点间的最短路径(如图1-1)。
图1-1
有人会说:“这也太简单了!”别着急,请看下面这道题(如图2-1):
图2-1
有一位将军骑着马要从A地走到B地,但途中要到水边喂马喝一次水,则将军怎样走最近。这道题乍一看似乎无从下手。但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间,线段最短”来解决问题,具体方法为:做B点与河面的对称点B',连接AB',可得到马喝水的地方C(如图2-2)。
图2-2
再连接CB得到这道题的解A→C→B。这就是着名的“将军饮马”问题。不信的话你可以在河边任意取一点C'连接AC'和C'B,比较一下就知道了。
明白了刚才的平面问题,接下来看看立体图形问题(如图3-1)。
图3-1
求点A到点C'的最短路径是那一条。此时已不在同一平面内,不能直接利用公理解决问题。此时,就要利用数学中的转化思想,把立体图形转化成平面图形来研究(如图3-2)。
图3-2
从而得到两条最短路径:A→BC→C'和A→CD→C'。同理,还可以得出6条最短路径来(如图3-345)。
图3-3 图3-4 图3-5
分别为:A→BC→C'、A→CD→C'、A→DD'→C'、A→BB'→C'、A→A'D'→C'、A→A'B'→C'。
那长方体的最短路径呢?我们来看一下这题(如图4-1)
图4-1
从A'到C,不经过A'B'C'D'和ABCD两面,怎样走最近?我们不如先不考虑第二个条件,从上题可知有六条最短路径,但此题与上题略有不同──长方体各面不相等,因此我们需比较那条路径最短。观察发现这六条路径,两两长度相等,即只比较这三条路径谁更短就可以了(如图4-23)。
图4-2&n
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bsp; 图4-3
解:设长方体长、宽、高分别为x、y、z,依题意,得:
①=
②=
③=
∵ 2xy>2xz>2yz
∴ ③<②<①
即走第三条路径最短。
得到从A'到C的路径中从A'→BB'→C和A'→DD'→C最短,与第二个已知条件无关。
平面是这样,那曲面呢?我们再看一题(如图5-1),从A到B,怎样走最近呢?与前两题相同,把圆柱体展开(如图5-2),此时,只有A点位于与长方形的交界处时,才是最短路径,且只有一条最短路径AB。
图5-1 图5-2
从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题,都可先把立题图形转化成平面图形再思考。而且得出正方体有6条最短路径;长方体有2条最短路径;圆柱有1条最短路径。这短短的八个字还真是奥妙无穷啊!
教师注:初一刚入学不久的学生,能把问题一个问题表述得如此清晰,很是难能可贵。不足之处是在对圆柱体问题的探究中考虑不周,有其他可能未进行探究。继续努力,力争把问题研究的更清楚、更透彻。
两点之间线段最短的探究与再思考
原静雯
初一上学期,我们学习了两点之间线段最短的知识,并利用它作了一节课,相信大家对它还是记忆犹新的。自从那次课后,不知大家有没有进行更深的思考,小人不才,愿用这贫乏的文字,说一说我的想法。
探究问题一:已知,A,B在直线L的两侧,在L上求一点,使得PA+PB最小。(如图所示)
解:根据两点之间线段最短的基本概念,只用连接AB即可轻松的得到答案。如图所示。线段AB与直线L的交点,就是题目要求的.点P。
总结:本题虽然十分简单,但却是所有有关本类题目难题的基础,是必须要牢记与掌握的。下面一题,就是上一题的变形,你还会做吗?
探究问题二:已知,A,B在直线L的同一侧,在L上求一点,使得PA+PB最小。(如图所示)
解:本题的难点不在于解题过程,而在于解题的思想,往往大家不能正确的找到解题的思路。那么,我就在此抛砖引玉,说说我的看法。首先,作点B关于L的对称点B',(如图所示),因为OB'=OB,∠BOP=∠B',OP=OP,所以△OPB≌△OPB'。所以,PB=PB'。因此,求AP+BP就相当于求AP+PB'。这样,复杂的问题便通过转化变得简单,成了探究问题一。因此只用连接AB'即可,与直线L的交点,就是题目要求的点P。
结论:我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来,成为自己解题的方法之一。
探究问题三:A是锐角MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小。(如图所示)
解:利用探究问题二的结论,作A与OM的对称点D,再作A与ON的对称点E。连接DE(如图所示),据上题铺垫,我们可得,AB=BD,AC=CE,又因为D,B,C,E在一条直线上,所以,这时的周长是最短的。
总结:本题可总结为“三角形的一点决定”。下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四:AB是锐角MON内部一条线段,在角MON的两边OM,ON上各取一点C,D组成四边形,使四边形周长最小。(如图所示)
解:有了上一题的铺垫,本题似乎简单了许多,作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F,连接EF即可。如图。ABCD便是周长最小的。
(2)下面我把上一题简单变形,把锐角变为直角,大家再看,本图有没有似曾相识之感?对了,我们见过的,只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系,再把AB两点固定位置,这样,就变为了月考附加题中的最后一题。
原题:在直角坐标系中,有四个点A(-8,3)、B(-4,5)、C(0, n)、D(m,o),当四边形ABCD的周长最短时,求m/n的值。
解:依题意画图得:
由探究问题四得知,作B关于Y轴的对称点B',A关于X轴的对称点A'。连接A'B',他们与X轴,Y轴的交点便为所求。如图所示,过A'与B'两点的直线的函数解析式可求。设过A'与B'两点的直线的函数解析式为y=kx+b.
依题意得:-8k+b=-3, 4k+b=5
解得,k=2/3,b=7/3
所以,(0,n)为(o,7/3)
(m,o)为(-3.5,o)
所以,m/n=-2/3
以上,便就是我对此问题的一些想法,复杂费解的问题是不是简单了许多?好理解了许多呢?
来源:人教网
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